Пропорционирование. Уравновешивание

 

О пропорциях как средстве гармонизации формы следует говорить в первую очередь, так как размерные отношения — это та основа, на которой строится вся композиция. Как бы ни были хороши части композиции сами по себе, но если всю ее пространственную структуру не объединяет четкая пропорциональная система, трудно рассчитывать на целостность восприятия произведения.

 

Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

 

В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них наиболее глубокий след в мировой культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и человека как единое целое, где все взаимосвязано и находится в гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка — упорядочивания хаоса. Гармония присуща природе и искусству. Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы.

 

Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон». Все классическое искусство Греции носит печать пифагорейского учения о пропорциях. Его влияние испытали на себе ученые средневековья, наука и искусство эпохи Возрождения, Нового времени вплоть до наших дней. Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту «числовым равенством». Философ схоласт Бонавентура писал: «Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению». Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: «Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона познает ученый».

 

Исследованию пропорций посвящали свои труды ученые, зодчие и художники античности и эпохи Ренессанса (Витрувий, Палладио, Виньола и многие другие). Мастера античности при рассмотрении пропорций особое значение придавали числам. Этому их учили философы и математики, которые искали совершенную гармонию пропорций в форме. Они утверждали, что один и два — это еще не числа. Три — это уже первое число, десятки — начало совершенства. Число три встречается в природе, весь мир состоит из трех элементов: земли, воды и огня. Это же число и знак божества. В то же время число три отвечает форме треугольника, а треугольник — это важная фигура в пропорциях. Закон пропорций в Египте был основой для определения размеров пирамиды. Кроме того, это известное число Пифагора.

 

Античные храмы состоят из подиума, основной части и крыши, классическая колонна — из основания, ствола и капители. И в этом — совершенная античная гармония.

 

Число четыре — знак природы или квадрата, ключевая фигура пропорций и золотого сечения.

 

Китайцы дополняют мифологию: число пять — сумма единицы и четырех, а четыре элемента выступают как земля, воздух, огонь и вода. Есть четыре времени года: весна, лето, осень и зама. Человеческая жизнь состоит из детства, юности, зрелости и старости. Платон говорит об исключительной важности пяти правильных многоугольников и их структуре, и уже совсем мистическую роль отводит додекаэдру, геометрическому символу великого космоса.

 

Шесть — это опять совершенное античное число, это сумма первых трех чисел, делимая на два и на три.

 

Семь — египетское и мессапотамское число. Восемь — важное индийское число. Девять — византийский канон пропорций человеческой фигуры.

 

Десять — великое, всесильное, всемогущее и тоже совершенное число Пифагора, символ человеческой и небесной жизни, а не следует забывать, что "человек — мера всех вещей", как утверждал Пифагор.

 

Эта магия чисел такая же древняя, как и представление человека о красоте, гармонии и взаимном сочетании частей и целого, о формах архитектуры, природы и искусства. Греки называли ее пропорцией, искали формы, приятные глазу человека.

 

В течение многих веков люди исследовали линейные пространственные отношения в индивидуальных и общих категориях и канонах, соответствующих общественным событиям и явлениям в сфере искусства. Человек не довольствуется объяснением, что искусство — это лишь фантазия и интуиция в чистом виде. Он исследует и математические связи, которые не случайны. Если бы интуиция служила объяснением для весьма сложных пропорциональных отношений, это привело бы к постоянному монотонному повторению форм. Системы пропорций развиваются одновременно с познаниями человека в области, математики, механики, физики и оптики.

 

Пропорция — это "гармоническое соотношение размеров между различными элементами, составляющими произведение, и между каждым из них и целым. Пропорциональная система, таким образом, пытается достичь "единства видения", стремясь к иерархическому единству, в котором части и целое, а также их взаимные связи располагаются по мере их взаимодействия в совокупности формы.

 

Человек интенсивно стремится к порядку, так как порядок дает удовлетворение, и хотя внешне он кажется интеллектуального характера, корни его материальны. Порядок делает человеческую жизнь более удобной, ибо различные сложности, которыми полна жизнь, смягчаются путем соответствующей организации жизнедеятельности человека.

 

В искусстве порядок выступает как абстрактная категория, внешне не связанная какой-либо необходимостью или реальной действительностью. Его присутствие в конструкции или в распределении архитектурных форм обозначается пропорциями. Художник должен иметь в виду, что взгляды на форму постоянно меняются, поэтому при поисках гармонии линий или определенных форм следует учитывать и их внешний вид и их теоретические возможности. Число и соответствие должны использоваться с определенной осторожностью.

 

Число, соответствие, соотношение размеров иными словами, пропорция есть не что иное, как средства, с помощью которых достигается гармония, если принимать во внимание соответствующие эстетические законы. Эти категории никогда не проявляются одинаково: место, свет, расположение, конфигурация и т.д. — все это призвано менять характер произведения. Необходимо, следовательно, в каждом случае подходить с особым вниманием к использованию количества и пропорций. Пропорции имеют большое художественное значение. В пластических искусствах пропорциями определяются соразмерность и гармоничность элементов формы, различных соотношений по ширине, глубине, высоте всех частей формы друг с другом и с целым.

 

Более сложным видом пропорциональных отношений является подобие друг другу двух и более частей формы по разным отношениям элементов каждой из них. Например, два прямоугольника с разными размерами сторон могут быть подобными тем, что отношение их больших сторон к меньшим одинаково.

 

Метод подобия в дизайне и архитектуре относится преимущественно к вертикальным и горизонтальным членениям, что в большинстве случаев позволяет рассматривать форму как систему прямоугольников. Среди этих прямоугольников подобные легче других зрительно связываются друг с другом и образуют единство. На этом основан геометрический метод построения пропорций. Используя его, можно приводить к единому отношению все части формы.

 

Различаются два типа построения пропорций: соподчиняющий и расчленяющий. Они служат основными приемами построения целого и частей. Графический метод пропорционирования заключается в нахождении и построении одной или нескольких систем параллельных и взаимно перпендикулярных диагоналей подобных прямоугольников.

 

Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций. Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др. В математической равенство двух отношений выражается формулой a:b = с:d, и каждый член ее может быть определен через остальные три. В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: а:с = (а — в): (в — с). В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий, а:в = в:с. Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена — «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией». Особенностью пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между двумя предыдущими членами, т. е. а:в = в: (а - в). Отношение «золотого сечения» выражается числом 0,618. Пропорция «золотого сечения»: 1:0,618 = 0,618:0,382. На ее основании был построен ряд чисел, замечательный тем, что каждое последующее число оказывалось равным сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 1З, 21 и т. д. Этот ряд был открыт итальянским математиком Фибоначчи и называется поэтому рядом Фибоначчи. Он обладает тем свойством, что отношения между соседними членами по мере возрастания чисел ряда, все более приближаются к 0,618, то есть, к отношению «золотого сечения». 

 

Рис. 2. Точки пересечения линий, составляющих звезду, делят их на отрезки в отношении золотого сечения.

Пропорции «золотого сечения» ученые связывают с развитием органической материи. Оно было обнаружено в объектах живой природы — в строении раковин, дерева, в расположении семян подсолнуха, в строении тела человека, а также его наблюдали в устройстве вселенной в расположении планет. В отношении «золотого сечения» находятся так же элементы геометрических фигур — пятиугольника, звезды.

 

 

Рис. 3. Прямоугольник приблизительно золотого сечения, построенный на основании пятиугольника.

 

В прямоугольнике (рис 3, 4) стороны находятся в отношении «золотого сечения». Этот прямоугольник содержит в себе квадрат и малый прямоугольник «золотого сечения» (его большая сторона является малой стороной первоначального прямоугольника.) Поэтому можно построить прямоугольник «золотого сечения» на основании квадрата: сторона квадрата делится пополам, из той точки к вершине проводится диагональ, с помощью которой на стороне квадрата строится прямоугольник, как показано на рис. 4. Этот малый прямоугольник подобен большому прямоугольнику, составленному из квадрата и малого прямоугольника «золотого сечения», то есть оба эти прямоугольника являются прямоугольниками «золотого сечения». Деление таким образом можно продолжать до бесконечности. Если соединить вершины квадратов кривой, то мы получим логарифмическую кривую, бесконечно растущую спираль, которую называют «кривая развития», «спираль жизни», ибо в ней как бы заложена идея бесконечного развития. (Рис. 5).

 

 

Рис.4 Построение прямоугольника золотого сечения на основе квадрата.

 

Бесконечное повторение прямоугольника «золотого сечения» и квадрата при рассечении прямоугольника «золотого сечения» обнаруживает повторение целого в его частях, что является одним из условий гармонии целого. Это свойство было обнаружено художниками и они стали употреблять «золотое сечение» как способ гармонизации, способ пропорционирования. Фидий использовал «золоте сечение» при постройке Акрополя (5 век до н. э.)

 

Рис. 5. Логарифмическая кривая «Спираль Жизни»

 

Рис. 6. Построение буквы из книги Луки Пачоли «О божественной пропорции».

 

Греческие ремесленники, создавая гончарные изделия также применяли золотое сечение. В эпоху Возрождения его использовали не только в зодчестве, скульптуре, живописи, но и в поэзии и музыке. Дюрер, Леонардо да Винчи и его ученик Лука Пачоли применяли его в поисках гармоничных пропорций букв. (Рис 6). Прямоугольник золотого сечения мы встречаем и в пропорциях средневековых рукописных книг, и в современной книге, так как стройные пропорции позволяют красиво организовать пространство книжной страницы и разворота (рис. 7).

 

Рис. 7. Один из способов определения размера полосы набора при заданном формате.

 

Попорционирование — приведение частей целого к единому пропорциональному строю. В ХХ веке вновь возродился интерес к золотому сечению как к способу пропорционирования. Оно привлекло внимание архитекторов. Русский архитектор Жолтовский и француз Корбюзье занимались проблемами золотого сечения и использовали его в своей архитектурной практике, Корбюзье создал целую систему пропорционирования на основе чисел ряда золотого сечения и пропорций человеческого тела и назвал ее «Модулор», что по латыни означает ритмически размерять.

 

Рис. 8. Модулор (упрощенная схема)

 

Рис. 9. Варианты деления прямоугольника на основе Модулора.

 

Модулор Корбюзье представляет собой гармонические ряды чисел, которые связаны в единую систему и предназначены для использования в архитектуре и дизайне — для гармонизации всей среды, в которой обитает человек. Корбюзье мечтал о перестройке с помощью Модулора всей архитектурной и предметной среды. Сам он создал несколько прекрасных образцов архитектуры, но о более широком применении Модулора в существующих условиях не могло быть и речи. Модулор использовался в ряде случаев в дизайне и в графическом дизайне — при конструировании печатных изданий. На рис. 9 приводятся варианты деления прямоугольника 3:4, приведенные Корбюзье для демонстрации возможностей конструирования с помощью Модулора.

 

В разработку вопроса пропорционирования и использования золотого сечения внес свой вклад Д. Хэмбидж. В 1820 году в НьюЙорке вышла его книга «Элементы динамической симметрии». Хэмбидж исследовал динамическую симметрию, которую он обнаружил в ряде прямоугольников, с целью ее практического применения художниками в композиционном построении. Он делает попытку раскрыть секреты, которыми пользовались древние греки, добиваясь гармонического решения формы. Его внимание привлекли свойства прямоугольников, составляющих ряд, где каждый последующий прямоугольник строится на диагонали предыдущего, начиная с диагонали квадрата Д2. Это прямоугольники Д4, Д5 (с меньшей стороной равной стороне квадрата, принятой за единицу). (Рис. 10). Кульминацией ряда является прямоугольник Д5, обладающий особыми гармоническими свойствами и «родственный» прямоугольнику золотого сечения.

 

Рис. 10. Ряд динамических прямоугольников Хэмбиджа.

 

Хэмбидж рассматривает также площади квадратов, построенных на сторонах этих прямоугольников и обнаруживает следующую динамику: в прямоугольнике Д2 квадрат, построенный на большей стороне, имеет площадь в 2 раза большую, чем квадрат, построенный на меньшей стороне. В прямоугольнике Д3 квадрат на большей стороне в 3 раза больше квадрата на меньшей стороне и так далее. Таким образом, образуются динамические ряды площадей, состоящие из целых чисел. Хэмбидж утверждает, что древние греки использовали этот принцип в своих композиционных решениях. Прямоугольники динамического ряда, о котором мы говорили, являются первичными площадями в композиционной системе Хэмбиджа. Каждый из этих прямоугольников может быть разбит на отдельные части и порождать новые композиционные решения, новые темы. Например, прямоугольник Д2 можно разбить на квадрат и два прямоугольника золотого сечения. Прямоугольник золотого сечения может быть разбит на квадрат и прямоугольник золотого сечения, а также может быть разбит на равные части, при этом обнаруживается следующая закономерность: при делении пополам он даст два прямоугольника, в каждом из которых будет по два прямоугольника золотого сечения. При делении на три части — по три прямоугольника золотого сечения в каждой трети. При делении на 4 части — по четыре в каждой четверти основного прямоугольника.

 

Помимо прямоугольника золотого сечения и квадрата, наибольший интерес для нас представляют прямоугольники Д2 и Д5. Древние греки эпохи классики предпочитали именно эти прямоугольники. Хэмбидж утверждает, что 85% произведений греческого классического искусства построено на прямоугольнике Д5. Будучи разделенным по вертикали и по горизонтали на две части, он восстанавливает свои пропорции. Прямоугольник этот можно расчленить на квадрат и два малых прямоугольника золотого сечения. Кроме того, в нем просматриваются два прямоугольника золотого сечения, перекрывающие друг друга на величину квадрата. Оставшаяся часть тоже представляет собой прямоугольник золотого сечения. Таким образом, он обнаруживает ритмические свойства. В нем возникает красивая симметрия (малый прямоугольник золотого сечения + квадрат + малый прямоугольник золотого сечения) (рис. 11).

 

Рис. 11. Ритмические свойства прямоугольника.

 

Прямоугольник Д2 также находит широкое применение, в особенности в области прикладной графики. Он используется как формат бумаги для деловой документации, поскольку обладает удивительным свойством, — при делении пополам он не меняет своих пропорций. При делении образуется ряд подобных прямоугольников, гармонически связанных между собой единством формы. На рис. 12 приводится изо6ражение прямоугольников, используемых при композиционном построении благодаря гармоническим отношениям их сторон.

 

Рис. 12. Пропорции сторон в прямоугольнике Д2, использованные в стандартных форматах.

 

Среди систем пропорционирования, используемых в архитектуре, дизайне, в прикладной графике следует упомянуть системы «предпочтительных чисел» и различные модульные системы. Предпочтительные числа — ряд чисел геометрической прогрессии, где каждое последующее число образуется умножением предыдущего числа на какую-нибудь постоянную величину. Числа из предпочтительных рядов используются при конструировании упаковок, в композиции рекламных плакатов. Они обеспечивают ритмическое развитие формы, их можно встретить и в построении формы античной вазы и в современном станке. Известна система пропорционирования — так называемые «итальянские ряды», в основе которых лежат первые числа ряда Фибоначчи — 2, 3, 5. Каждое из этих чисел, удваиваясь, составляет ряд чисел, гармонически связанных между собой: 2 – 4, 8, 16, 32, 64, и т.д.; 3 – 6, 12, 24 48, 96; 5 — 10, 20, 40, 80, 160.