Елементарні функції комплексної змінної

 

Відображення(потрібен чи не потрібен абзац?) , яке кожному комплексному числу (потрібно чи ні ставити скобки в D)  ставити у відповідність деяке комплексне число , називається функцією комплексної змінної і записується так: .

Функція комплексної змінної може бути многозначною. В деякому випадку при відображенні  кожному комплексному числу  відповідає не одне, а декілька значень комплексної змінної . Нехай , . Тоді залежність  між комплексними змінними  і  рівносильна двом залежностям дійсних функцій  і   від дійсних змінних  і :   і .(може бути не зв’язка в методичці)

 

    До основних елементарних функцій комплексної змінної відносяться:

1. Дробово-раціональна функція:

    , (як я це зрозумів з методички)

2. Експоненціальна показникові функція:

При цьому  і   () (кома пісня двійки),

тобто функція - періодична,

3. Тригонометричні функції:

;

;

Ці функції періодичні з періодом . При цьому має місце формула Ейлера: .

4. Гіперболічні функції:

   

5. Логарифмічна функція , , визначається, як функція, зворотня до показникової:  ().

Ця функція багатозначна.

    - головне значення  (при ). При цьому:

   

    ().

6. Зворотні тригонометричні функції , , , .

Всі ці функції багатозначні і визначаються через логарифм за формулами:

   

   

    (не зрозуміло про логарифм, де він стоїть).

7. Зворотні гіперболічні функції , , , ,  визначаються за формулами:

    ,

    ,

    ,

    .

 

Приклади:

Обчислити:

1) ;              2) ;         3)

Розв’язки:

 

1) З формули  маємо

2) З формули , .

    Маємо

3) .

Розв’язати рівняння ,

Маємо:

;