Обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводится до обчислення звичайних криволінійних інтегралів. Якщо , , то .
.(як я зрозумів цю формулу)
Теорема Коші. Якщо функція аналітична в обов’язковій області, обмеженій замкненим контуром Г, а також в точках цього контура, то
Г
У випадку багатов’язної(!!!!) області
;
У випадку двов’язної області (Мал. 10)
(не зрозумів, що за буква під другим інтегралом(поставив ГАММУ))
|
|
Мал. 10
Інтегральна формула Коші.
Розглянемо інтеграл , де Г -замкнений контур, обмежуючий область D. Якщо точка , то аналітична функція всередині D і на Г. Тоді на підставі теореми Коші:
Нехай точка і обходиться контуром Г в додатному напрямі 1 раз. Вибравши коло (та ж проблема) радіусом R з центром в точці а, тобто
, , знайдемо .
Отже, .
Теорема. Якщо функція аналітична в області D, обмеженій замкненим контуром Г, і на самому контурі Г, то
, (1)
де , , і контур Г обходиться в додатному напрямі. Рівність (1) називається 1-ою інтегральною формулою Коші, а інтеграл -
|
|
інтегралом Коші.
Інтеграли типу Коші.
Теорема. Якщо функція аналітична в області D і на її границі Г, то для довільного натурального n можна записати формулу
, (2)
де , .
Рівність (2) називається 2-ою інтегральною формулою Коші, а інтеграл
- інтегралом типу Коші.
Приклади.
1. Обчислити (2z-незрозуміло!)
а) с-відрізок б) с-дуга параболи , ;
в) с-відрізки V , ( ).
Рішення:
Якщо , , то , де , .
За формулою
маємо:
.
|
|
тому
|
|
|
(Мал. 12)
маємо
(скобка до «і» в методичці стоїть)
|