2018-02-13
513
Числа (потрібен чи не потрібен абзац?) виду 
, де 
, називаються комплексними.
- дійсна частина комплексного числа;
- уявна частина комплексного числа;
Комплексне число в деякій Декартові системі координат зображується точкою 
з координатами 
або радіус-вектором точки (мал.1). Із геометричного змісту комплексного числа (мал.1) зрозуміло, що 
(1) або 
(2)
Мал.1
(1)- тригонометрична форма комплексного числа
(2)- експоненціальна форма комплексного числа
- модуль комплексного числа, а 
- аргумент, де 
(
); 
-головний кут і 
; 
(
). 
називається комплексно-спряженим числом.
Дії над комплексними числами:
Нехай 
і 
, тоді:
1. 
, якщо 
і 
()
2. 
(!)
3. 
(!)
4. 
, має місце формула Муавра: (!) 
; 
(по поводу чего в методичке написано????)
5. 
, або 
, k=0,1,2,…, (n-1).
Приклади: виконати указані дії, якщо (z=2+5i):
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) (В методичке другое) 7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
Розв’язки
1) 
Радіус-вектор дорівнює сумі двох радіус-векторів та 
(мал. 2).
Мал. 2
2) 
Радіус-вектор дорівнює сумі радіус-векторів та 
(мал. 3).
Мал. 3
3) 
Радіус-вектор дорівнює сумі радіус-векторів та 
(мал. 4).
Мал. 4
4) 
; 
або за формулою Мавра 
(була помилка)
; k є Z.
5) 
6) 
(не зрозуміла помилка)
7) 
або 
Маємо:
; 
= 
Або:
8) 
;
9) 
(в останньому не зрозуміло, під корнем весь вираз чи тільки «2-ійка»)
, k=0,1,2
10) 
, k=0,1
11) 
k=0,1
Приклади
В площині 
зобразити геометричні місця точок для заданих співвідношень:
1) 
; 
; 
; 
2) 
; 
, ,
3) 
; , 
; 
4) 
5) 
, ,
Розв’язки:
1) . Маємо: 
, 
Тоді 
, 
(В методичці на початку рів-ня опечатка, або так потрібно(порядковий номер “Y”… і в ньому стоїть знак додавання))
Звідси випливає, що 
, 
, 
- параметричні рівняння кола радіуса 
з центром в точці (
), (мал. 5)
Мал. 5
Маємо 
; 
, (<=Повторюється...!)
- параметричні рівняння прямої 
Включаючи параметр 
, маємо:т 
, 
(мал. 6)
Мал. 6 Мал. 7
3) З , , випливає, що вектори 
та 
колінеарні.
Геометричне місце точок є пряма, що проходить через точки 
і 
(мал. 7)
4) Модуль різниці двох комплексних чисел 
в площині дорівнює відстані між точками і , тому 
є сума відстаней довільної точки від двох точок 
і 
і дорівнює 5. Отже, геометричне місце точок є еліпс з фокусами в точках 
і 
, велика вісь еліпса дорівнює 5 (мал. 5)
5) Оскільки 
дорівнює відстані між точками і 
то 
є геометричне місце точок , відстань яких до даної точки менше за , тобто коло радіуса є центром в точці (мал. 9).
(в методичці є незрозумілості в обох малюнках) Мал. 8 Мал. 9
