Числа (потрібен чи не потрібен абзац?) виду , де , називаються комплексними.
- дійсна частина комплексного числа;
- уявна частина комплексного числа;
Комплексне число в деякій Декартові системі координат зображується точкою з координатами або радіус-вектором точки (мал.1). Із геометричного змісту комплексного числа (мал.1) зрозуміло, що (1) або (2)
Мал.1
(1)- тригонометрична форма комплексного числа
(2)- експоненціальна форма комплексного числа
- модуль комплексного числа, а - аргумент, де (); -головний кут і ; ( ). називається комплексно-спряженим числом.
Дії над комплексними числами:
Нехай і , тоді:
1. , якщо і ()
2. (!)
3. (!)
4. , має місце формула Муавра: (!) ; (по поводу чего в методичке написано????)
5. , або , k=0,1,2,…, (n-1).
Приклади: виконати указані дії, якщо (z=2+5i):
1) 2) 3) 4)
5) 6) (В методичке другое) 7) 8)
9) 10) 11)
Розв’язки
1)
Радіус-вектор дорівнює сумі двох радіус-векторів та (мал. 2).
|
|
Мал. 2
2)
Радіус-вектор дорівнює сумі радіус-векторів та (мал. 3).
Мал. 3
3)
Радіус-вектор дорівнює сумі радіус-векторів та (мал. 4).
Мал. 4
4) ; або за формулою Мавра
(була помилка)
; k є Z.
5)
6) (не зрозуміла помилка)
7) або
Маємо:
; =
Або:
8) ;
9) (в останньому не зрозуміло, під корнем весь вираз чи тільки «2-ійка»)
, k=0,1,2
10) , k=0,1
11) k=0,1
Приклади
В площині зобразити геометричні місця точок для заданих співвідношень:
1) ; ; ;
2) ; , ,
3) ; , ;
4)
5) , ,
Розв’язки:
1) . Маємо: ,
Тоді , (В методичці на початку рів-ня опечатка, або так потрібно(порядковий номер “Y”… і в ньому стоїть знак додавання))
Звідси випливає, що , , - параметричні рівняння кола радіуса з центром в точці (), (мал. 5)
Мал. 5
Маємо ; , (<=Повторюється...!)
- параметричні рівняння прямої
Включаючи параметр , маємо:т , (мал. 6)
Мал. 6 Мал. 7
3) З , , випливає, що вектори та колінеарні.
Геометричне місце точок є пряма, що проходить через точки і (мал. 7)
4) Модуль різниці двох комплексних чисел в площині дорівнює відстані між точками і , тому є сума відстаней довільної точки від двох точок і і дорівнює 5. Отже, геометричне місце точок є еліпс з фокусами в точках і , велика вісь еліпса дорівнює 5 (мал. 5)
5) Оскільки дорівнює відстані між точками і то є геометричне місце точок , відстань яких до даної точки менше за , тобто коло радіуса є центром в точці (мал. 9).
|
|
(в методичці є незрозумілості в обох малюнках) Мал. 8 Мал. 9