double arrow

Комплексні числа і дії над ними.

1

 

Числа (потрібен чи не потрібен абзац?) виду , де , називаються комплексними.

 - дійсна частина комплексного числа;

 - уявна частина комплексного числа;

Комплексне число  в деякій Декартові системі координат зображується точкою  з координатами  або радіус-вектором точки (мал.1). Із геометричного змісту комплексного числа (мал.1) зрозуміло, що  (1) або  (2)

 

 

Мал.1

 

    (1)- тригонометрична форма комплексного числа

    (2)- експоненціальна форма комплексного числа

- модуль комплексного числа, а  - аргумент, де  (); -головний кут і ;  ( ).  називається комплексно-спряженим числом.

Дії над комплексними числами:

Нехай  і , тоді:

1. , якщо   і   ()

2.      (!)

3.       (!)

4. , має місце формула Муавра: (!) ;  (по поводу чего в методичке написано????)

5. , або , k=0,1,2,…, (n-1).

Приклади: виконати указані дії, якщо (z=2+5i):

    1)     2)     3) 4)

    5)    6)  (В методичке другое)         7)        8)

    9)    10) 11)

 

Розв’язки

 

1)

Радіус-вектор  дорівнює сумі двох радіус-векторів   та  (мал. 2).

    Мал. 2

 

2)

Радіус-вектор  дорівнює сумі радіус-векторів   та  (мал. 3).

Мал. 3

 

3)

Радіус-вектор  дорівнює сумі радіус-векторів   та  (мал. 4).

    Мал. 4

 

4) ;   або за формулою Мавра

(була помилка)

; k є Z.

 

5)

 

6) (не зрозуміла помилка)

 

7)  або

 

Маємо:

; =

Або:

 

8) ;

 

9) (в останньому не зрозуміло, під корнем весь вираз чи тільки «2-ійка»)

, k=0,1,2

 

10) , k=0,1

 

11)  k=0,1

 

Приклади

В площині  зобразити геометричні місця точок для заданих співвідношень:

1) ; ; ;

2) ; , ,

3) ; , ;

4)

5) , ,

 

Розв’язки:

1) . Маємо: ,

Тоді , (В методичці на початку рів-ня опечатка, або так потрібно(порядковий номер “Y”… і в ньому стоїть знак додавання))

 

Звідси випливає, що , ,  - параметричні рівняння кола радіуса  з центром в точці (), (мал. 5)

    Мал. 5

 

Маємо ; , (<=Повторюється...!)

 - параметричні рівняння прямої

Включаючи параметр , маємо:т ,  (мал. 6)

 

    Мал. 6                                                  Мал. 7

 

3) З , , випливає, що вектори  та  колінеарні.

Геометричне місце точок  є пряма, що проходить через точки  і  (мал. 7)

4) Модуль різниці двох комплексних чисел  в площині  дорівнює відстані між точками  і , тому  є сума відстаней довільної точки  від двох точок  і   і дорівнює 5. Отже, геометричне місце точок  є  еліпс з фокусами в точках  і , велика вісь еліпса дорівнює 5 (мал. 5)

5) Оскільки  дорівнює відстані між точками  і  то   є геометричне місце точок , відстань яких до даної точки  менше за , тобто коло радіуса  є центром в точці  (мал. 9).

(в методичці є незрозумілості в обох малюнках) Мал. 8 Мал. 9




Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


1

Сейчас читают про: