Диференціювання функції комплексної змінної

Для того, щоб функція  була диференційована в точці  необхідно і достатньо, щоб виконувались умови Коші-Рімана:

 і

Похідна функції комплексної змінної знаходиться за формулами:

.

Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної:

1. Модуль похідної  виражає розтяг або стискання відстані між образами точок  і  при відображенні  площини  на площину .

2. Аргумент похідної  характеризує кут , на який треба повернути дотичну в точці  кривої площини , щоб отримати напрямок дотичної в точці  до образу цієї кривої на площині  при відображенні .

Приклади:

1) Довести, що функція  диференційована у всіх точках площини і знайти її похідну.

Розв’язок:

Маємо , . Тоді . Тому , . Знаходимо , , , .

Окільки ця функція задовольняє умовам Коші-Рімана , , то вона диференційована. Її похідну знаходимо за формулою .

Маємо: .(не впевнений в вірності степені «x+iy»а не «x+yi»...). Отже .

2) Знайти коефіцієнт розтягу  , та кут повороту  в точці  при відображенні функцією .

Розв’язок:

, якщо , .(В методичці К россійська!). Знаходимо , отже .(!!!....!!!-не зрозуміла нісенітниця в записах методички). Маємо: ; ;(здається не вірно).

3) Маємо уявну частину (перепровірити) диференційної функції . Знайти цю функцію.

Розв’язок:

Маємо . Тоді . Скориставшись формулою Коші-Рімана , маємо . Звідси

. Отже, , скориставшись другою умовою Коші-Рімана , маємо . Отже, , або . Звідси маємо

.