Устойчивость систем автоматического регулирования

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

  ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

При рассмотрении объектов управления указывалось, что их состояние равновесия может быть устойчивым неустойчи­вым и нейтральным. То же можно сказать и о системах автоматического регулирования.

Неустойчивый объект может входить в устойчивую систему автоматического регулирования. В этом случае речь идет о системах с искусственной устойчивостью. Однако неустой­чивые линейные системы автоматического регулирования сами по себе без дополнительных устройств искусственной устой­чивости не могут быть применены на практике. Поэтому пер­вым условием работоспособности линейной системы автомати­ческого регулирования является ее устойчивость.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейного звена является отрицатель­ное значение вещественной части всех полюсов передаточной функции этого звена.

Для разомкнутой системы регулирования согласно передаточной функции:

,

1.1

где К(р) и D(р) — алгебраические полиномы от р. Усло­вием устойчивости разомкнутой системы является отрицатель­ный знак вещественной части корней характеристического уравнения:                                                                              

,

1.2

Для суждения об устойчивости замкнутой системы в каче­стве передаточной функции можно рассматривать любую функцию, связывающих сигналы на входе и выходе систе­мы.

Рассмотрим в качестве передаточной функции замкнутой системы передаточную функцию по регулируемой величине:

= ,

1.3

Подставив выражение W_p(p) из (1.1), получим:

,

1.4

Выражение любой другой передаточной функции замкнутой системы отличается от (1.4) только числителем. Знаменатель для всех функций замкнутой системы остается тем же. Вводя общее обозначение передаточной функции замкнутой системы:

,

1.5

во всех  случаях для знаменателя замкнутой системы будем иметь:

,

1.6

Условием устойчивости замкнутой системы является отри­цательный знак вещественной части всех корней характери­стического уравнения:

,

1.7

Это условие устойчивости, доказанное для линейных систем, было распространено на линеаризованные уравнения не­линейных систем А. М. Ляпуновым в 1892 г.

Исследование устойчивости сводится, таким образом, к оп­ределению знаков вещественной части корней характеристиче­ского уравнения, т. е. к вопросу распределения корней относи­тельно мнимой оси в комплексной плоскости р.

Уравнения степени не выше 4-й могут быть решены, так как для них существуют аналитические выражения, определяющие их корни. Для уравнений более высокой степени (степени 5-й и выше) таких выражений нет. Но для суждения об устойчиво­сти нет необходимости знать значение корней, достаточно лишь иметь суждение о знаке их вещественной части.

Существенным является поэтому выяснение правил, которые позволили бы, минуя вычисление самих корней, ответить на вопрос: как распределены корни в комплексной плоскости от­носительно мнимой оси. Правила, позволяющие определить рас­положение корней относительно мнимой оси, называются крите­риями устойчивости.

Существует несколько критериев устойчивости. Все они ма­тематически эквивалентны, так как решают вопрос — лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полу­плоскости или нет. Практическое использование того или иного критерия для конкретной задачи решается характером самой задачи.

В настоящее время при решении вопроса об устойчивости используются следующие критерии: алгебраические —а) Рауса, б) Гурвица; частотные —а) Михайлова, б) Найквиста.

 

1.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

 

Задача нахождения соотношений между коэффициентами ха­рактеристического уравнения линейной системы, обеспечиваю­щих ее устойчивость, давно привлекала внимание инженеров и математиков. Еще в 1860 г. И. А. Вышнеградский, исследуя систему регулирования паровой машины, сформулировал усло­вия, связывающие коэффициенты характеристического уравне­ния третьей степени, при которых система устойчива. Эта же задача привлекла внимание Дж. Максвелла и А. Стодола. К решению задачи для произвольной степени уравнения были привлечены математики Раус и Гурвиц. Ими были получены решения задачи устойчивости в несколько различных видах.

Раус опубликовал свое решение в 1875 г. в виде получившей известность таблицы Рауса. Гурвицем был опубликован крите­рий устойчивости в 1895 г. в виде системы определителей. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим нера­венствам и по существу отличаются только общей формой полу­чения их. Поэтому эти критерии часто объединяют, называя критерием Рауса — Гурвица.

Опуская доказательство каждого из этих критериев, приве­дем их математическую формулировку и покажем примеры их применения.

Критерий Рауса. Пусть дано характеристическое урав­нение системы:

1.8

Составим табл. 1.1 называемую таблицей Рауса.

Таблица 1.1

 

Правило составления таблицы легко усмотреть из ее по­строения. Любой из коэффициентов таблицы Рауса c_ki при   (k обозначает номер столбца, a i — номер строки таб­лицы) можно найти по формуле:

,	1.9
, при

Число строк таблицы Рауса равно степени уравнения плюс единица,

т. е. (n +1). Коэффициентам с отрицательными индексами соответствуют нули. Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом. Для того чтобы система была устойчива, не­обходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны, т. е.

; ; ; ,…,

1.10

При составлении таблицы Рауса для численно заданных коэффициентов уравнения можно в целях упрощения вычисле­ний умножать или делить строки таблицы на положительную величину. Это не меняет результат.

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, т. е. система неустойчива, то число корней уравнения, лежа­щих в правой полуплоскости, равно числу перемен знаков в первом столбце таблицы.

Пример 1.1. Пусть

Требуется определить количество корней, лежащих в правой полуплоскости.

Составим таблицу Рауса (табл. 1.2). Как видно из таблицы, в первом столбце имеют место две перемены знака: с плюса на минус и с минуса на плюс. Следовательно, рассматриваемое характеристическое уравнение имеет два корня в правой полуплоскости и соответствует неустойчивой системе.

 

К р и т е р и й   Г у р в и ц а.  Пусть дано характеристическое уравнение системы (1.8).Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицей Гурвица.

 

Таблица 1.2

				0
	21-0,167·44=13,65	62-0,167·52=53,3	100-0,167·0=100	0
	44-0,44·53,3=20,6	52-0,44·100=8	0-0,44·0=0	0
	53,3-0,662·8=48,0	100-0,622·0=100	0	0
	8-0,43·100= - 35,0	0	0	0
	100-1,37·0=100	0	0	0

 

Правило составления таблицы видно из ее построения. Пер­вая строка образуется из коэффициентов уравнения с индексами 0, 2, 4, и т. д. Вторая строка — из коэффи­циентов уравнения с индексами 1, 3, 5, и т. д. Каждая последующая строка образуется коэффициентами уравнения с индексами на единицу больше индексов коэффициентов пред­шествующей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями. Таблица содержит п строк, где п — степень уравнения.

Из таблицы Гурвица составляются определители k -го порядка Δ _k отчеркиванием в таблице k строк и k столбцов:

; ;

и т. д.

1.11

эти определители называются определителями Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом. Система устойчива, если   и все определи­ли Гурвица больше нуля, т. е. 

, где .

Рассмотрим более подробно случаи, когда n = 1,…,4

1) n = 1,

,

1.12

Условия устойчивости:

; ;

2) n = 2,

,

Условия устойчивости:

; ,

1.13

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Таким образом, условия устойчивости для уравнения второй степени сводятся к требованиям:

, , ;

1.14

3) n = 3

,

Условия устойчивости:

;

;

,

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Условие  при ; ;  возможно лишь при .

 

Таким образом, условия устойчивости для уравнения третьей степени сводятся к требованиям:

, , , ,	1.15
;	1.16

4) n = 4,

                ,

Условия устойчивости:

; ;

;

;

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Условие  при  возможно только при и . Условие при , и возможно при .

Таким образом, условия устойчивости для уравнения чет­вертой степени сводятся к требованиям:

, , , , ,	1.17
;	1.18

Из сказанного следует, что условия устойчивости для уравнений первой и второй степени сводятся к требо­ванию положительности коэффициентов характеристи­ческого уравнения.

Для уравнений третьей и четвертой степени, помимо поло­жительности коэффициентов характеристического уравнения, необходимо соблюдение неравенств (1.16) и (1.18).

При  число подобных дополнительных неравенств воз­растает, поэтому критерий устойчивости Гурийца рационально использовать при .

Из структуры построения определителей Гурвица следует, что:

,

1.19

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система устой­чива, если все определители Гурвица больше нуля и, в част­ности, .

Система находится на границе устойчивости, когда:

,

1.20

Это равенство возможно в двух случаях: 1) и 2) .

В первом случае говорят, что система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристиче­ского уравнения равен нулю).

Во втором случае говорят, что система находится на гра­нице колебательной устойчивости (два сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

В большинстве случаев  и, следовательно, если система находится на границе устойчивости, то это граница колебательной устойчивости.

 

Пример 1.2.  Пусть дано характеристическое уравнение:

,

1.21

Это уравнение соответствует системе регулирования, содержащей три инерционных звена с постоянными времени  и общим коэффи­циентом усиления k. Необходимо найти предельное значение k, при кото­ром система перестает быть устойчивой, т. е. k_пр как функцию Т_i, i = 1, 2, 3.

Перепишем уравнение в виде:

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система устойчива, если выполняются неравенства (1.15) и (1.16), т.е. если все коэффициенты урав­нения положительны и выполняется неравенство:

,

1.22

Положительный знак коэффициентов вытекает из условия задачи. Неравен­ство (1.22) может быть переписано в виде:

,

1.23

где

; ;

Из полученного неравенства видно, что оно нарушается при:

,

1.24

Из (1.24) следует, что предельный коэффициент усиления k_пр системы определяется не абсолютной величиной постоянных времени звеньев, а их относительным значением и k_пр тем больше, чем больше величины т. е. чем более резко отличаются постоянные времени друг от друга. В частном случае, когда , т. е. , значение k_пр минимально и равно всего лишь 8.

 

1.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

 

П р и н ц и п а р г у м е н т а. В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами:

,

1.25

 

Многочлен А(р) можно представить в виде:

,

1.26

где p_i — корни уравнения А(р) = 0.

Положим , тогда:

,

1.27

Рассмотрим геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости р. Начало вектора, изображающего это комплексное число, лежит в точке p_i, а конец — на мнимой оси в точке  (рис. 1.1)

Рис. 1.1

 Найдем аргумент комплексного числа:

,

1.28

При изменении аргумента A (jω) с из­менением ω в пределах от —∞ до +∞:

,

1.29

Согласно (1.29), для подсчета изменения аргумента необхо­димо подсчитать сумму изменений аргументов выражений вида . Это изменение аргумента зависит от того, в ка­кой (правой или в левей) полуплоскости лежит корень p_i. Рассмотрим эти два случая.                                       

Корень p_i, лежит в левой полуплоскости (рис. 1.2, а). При изменении ω в пределах от — ∞ до + ∞ конец вектора   скользит вдоль мнимой оси снизу вверх, поворачи­ваясь против часовой стрелки на 180°, и, следовательно, изме­нение аргумента при этом:

,

1.30

Корень p_i, лежит в правой полуплоскости (рис. 1.2,6). В этом случае, рассуждая аналогично, получим:

,

1.31

Допустим, что уравнение А(р) = 0 имеет m корней в пра­вой полуплоскости и l корней в левой полуплоскости. При этом l + m = n.

Рис. 1.2

 

Тогда, на ос­новании (1.27), (1.30) и (1.31):

,

1.32

Уравнение (7.32) представляет собой выражение принципа ар­гумента, который формулиру­ется следующим образом, Из­менение аргумента A (jω) при изменении ω от — ∞ до + ∞ равно разности ме­жду числом корней l (урав­нения А (р) = 0), лежащих в левой полуплоскости, и числом корней т, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на π.

 

К р и т е р и й М и х а й л о в а. Критерий устойчивости

А. В. Михайлова, сформулированный им в 1938 г.,является по существу геометрической интерпретацией прин­ципа аргумента. Пусть дано характеристическое уравнение системы (1.8):

,

1.33

     Полином А(р) в этом случае называется характеристи­ческим полиномом. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, т. е. чтобы т = 0. В этом случае согласно (1.32) должно удовлетворяться уравнение:

,

1.34

Из условия (1.34) следует, что все корни уравнения А(р)=0 лежат в левой полуплоскости.

Геометрическое место конца вектора A (jω) при  называется годографом вектора A(jω), или годогра­фом Михайлова. Согласно (1.33), уравнение годографа Ми­хайлова:

,

1.35

где действительная и мнимая части комплекса соответственно будут:

,	1.36
,	1.37

Из (1.36) и (1.37) следует, что действительная часть является четной функцией ω:

,

1.38

а мнимая часть A (jω) является нечетной функцией ω:

,

1.39

Следовательно,

,

1.40

т.е. A (jω)и A (-jω) являются сопряженными комплексными величинами и, таким образом,

=

1.41

Учитывая (1.41), уравнение можно записать в виде:

,

1.42

 

Рис. 1.3

 

Из (1.42) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического ре­гулирования устойчива, если при изменении ω от 0 до + ∞ век­тор А (jω) поворачивается на угол  где n — степень ха­рактеристического уравнения А (р) = 0; или, иначе, если годо­граф A(jω) с ростом ω от 0 до + ∞, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов.

На рис.1.3.а показаны годографы А (jω) устойчивых систем для разных значений п. Все они охватывают соответствующее число квадрантов в положительном направлении.

На рис.1.3.б показаны годографы неустойчивых систем. Все они не удовлетворяют условию обхода п квадрантов в по­ложительном направлении.

Годограф А (jω) можно построить по уравнениям (1.36) и (1.37), задаваясь значениями ω и вычисляя U и V.

Годограф можно также построить геометрически исходя из выражения (1.35). Вектор А (jω) при этом представляет собой замыкающую многоугольника, стороны которого равны соответственно  и образуют между собой угол в 90°. На рис. 1.4 это построение показано для одной точки ω = ω ₁, когда:

,

1.43

Задаваясь значениями ω в пределах нуль — бесконечность, строят подобным образом весь годограф.

Согласно уравнению (1.6) характеристический полином замкнутой системы можно представить в виде суммы К(р) и D(p). Годографы D(jω) и K(jω) могут быть представлены в виде произведения более простых годо­графов, которые обычно известны и для типовых звеньев имеют про­стой вид. Отсюда следует, что для построения годографа А (jω) необ­ходимо построить годограф D(jω), построить годограф K(jω), сложить векторы D(jω) и K(jω) для каж­дого значения ω.

Рис. 1.4

 

В случае, когда K(jω) = k, т. е. не зависит от частоты ω, по­строение упрощается. Последние две операции заменяются простым смещением годографа D(jω) вправо вдоль вещест­венной оси на величину k или, что то же самое, смещением мнимой оси влево на величину k.

Пример 7.3. Определить предельный коэффициент усиления k _пр системы автоматической стабилизации напряжения генератора.

     Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

,

 

где k = k₁ k₂ k₃.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

,

Для решения задачи следует построить годограф Михайлова:

=

Для этого построим вначале годограф:

,

Пусть T₁ = 2,0 сек, T₂ = 0,5 сек, T₃ = 0,1 сек.

Тогда:

,	1.44

и годограф D(jω) имеет вид, показанный па рис. 1.5.

Для того чтобы получить годограф А (jω) достаточно мнимую ось сместить влево на величину k. Из рис. 1.5 следует, что система будет на границе устойчивости,  если k будет равно k_пр, при котором годо­граф А(jω) пройдет через начало координат. Величина k_np, как это видно из рис. 1.5, мо­жет быть определена из уравнений:

Рис. 1.5

 

,

1.44`

 

где ω — частота пересечения, т. е. частота, соответствующая точке пересечения годографа D (jω) с действительной осью.

Решая уравнения (1.44)и (1.44'), для ω = ω_π  получим:

,	1.45

Легко заметить, что при подстановке выражений ω_π, τ₂, τ₃ формулы (1.45) и (1.24) совпадают.

 

К р и т е р и й  Н а й к в и с т а. Для исследования устойчи­вости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. пред­ложил критерий устойчивости, основанный на исследовании частотных характеристик системы. Этот критерий был по-новому обоснован, обобщен и применен в теории автоматиче­ского регулирования А. В. Михайловым в 1938 г. Для исследо­вания устойчивости замкнутой системы регулирования согласно этому критерию необходимо знать частотный годограф разомк­нутой системы. Эту характеристику можно получить как ана­литически, так и экспериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.

Критерий устойчивости Найквиста имеет ясный физический смысл. Он связывает стационарные частотные свойства разомк­нутой системы с нестационарными свойствами замкнутой си­стемы.

Критерий устойчивости, основанный на пост­роении частотного годографа разомкнутой си­стемы. Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования:

 

,

Образуем функцию:

,

1.46

Числитель этой функции представляет собой характеристи­ческий полином замкнутой системы, знаменатель — характери­стический полином разомкнутой системы. Пусть степень D(p) равна n и степень K(p) равна r. Из физических соображений следует, что:

,

1.47

В противном случае, при  из передаточной функ­ции W(р) можно выделить слагаемые с р выше нулевой сте­пени, что соответствует дифференцирующим звеньям, которые, как было указано в гл. III, не могут быть реализованы на практике.                    I

Учитывая неравенство (1.47),можно утверждать, что сте­пень полинома D(p)+K(p) также равна п.

Рассмотрим два случая состояния разомкнутой системы: устойчива и неустойчива.

 

1-й случай — система в разомкнутом состоянии устойчива.

Тогда согласно критерию устойчивости Михайлова изме­нение аргумента характеристического полинома разомкнутой системы:

,

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно удовлетворяться равенство:

,

Из (1.46) при этом следует, что:

,

1.48

 

Таким образом, система автоматического регулирования устойчива, если изменение аргумента вектора F(jω) при изме­нении ω от 0 до ∞, равно нулю.

На рис. 1.6, а показаны два годографа F(jω) = 1 + W_p (jω) соответствует устойчивой системе: он не охватывает точ­ку (0,0), II — неустойчивой: он охватывает точку (0,0). 

Рис. 1.6

 

 

Так как F(jω) отличается от W_p (jω) на +1, то сказанное можно сформулировать непосредственно для характеристики W_p (jω) (см. рис. 1.6, б).

Замкнутая система устойчива, если годограф разомк­нутой системы W_p (jω) не охватывает точку (—1,j0).

Пример 1.4. Применим критерий Найквиста для определения предельного коэффициента системы регулирования, рассмотренной в примере 1.3 для которой:

,

Частотные годографы для этой системы при разных значениях k пока­заны на рис. 1.7. Согласно критерию Найквиста, при k = k₁ система устойчива, при k = k₂ — неустойчива.

Рис. 1.7

 

Для определения значения k _пр необ­ходимо найти значение k, при котором го­дограф проходит через точку (—1,j0), т. е. решить уравнение:

,

или

Составив уравнения для мнимых и действительных частей этого урав­нения, находим ω_π и k_пр:

Полученное решение совпадает с формулами (1.45) и (1.24), найденными с помощью критериев Михайлова и Гурвица.

 

 

2-й случай — система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных и одноконтурных систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет m корней в правой полуплоскости. Тогда согласно прин­ципу аргумента (1.32):

,

или, учитывая симметрию характеристик для + ω и – ω,

,

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно выполняться равенство:

,

При этом [согласно (1.46)]:

,

1.49

Таким образом, система автоматического регулиро­вания устойчива, если при изменении ω от нуля до бес­конечности годограф разомкнутой системы W_p (jω) охва­тывает ^m/₂ раз точку (—1; j0) в положительном направле­нии, где т — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Рис. 1.8

 

Кратность охвата может быть наглядно определена числом оборо­тов, совершенных вектором, прове­денным из точки (—1;j0) в теку­щую точку годографа.

На рис. 1.8показан годограф устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии неустойчива, а число кор­ней ее т = 2. Годограф охватывает в положительном направлении точ­ку (—1, j0) один раз (^m/₂ =1) следовательно, согласно (1.49) система в замкнутом состоянии устойчива.

 

 

      2. ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

     К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

 

 

2.1 ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

В заданиях приводится 31 вариант исходных данных. Номер варианта семестровой работы определяется номером списка группы.

Семестровое задание выполняется в сроки, предусмотренные учебным планом, и рабочей программой (методикой рейтингового контроля). Если рабо­та правильно оформлена и ее содержание адекватно отвечает вопросам задания, то она зачитывается. В противном случае контрольная работа возвращается студенту для доработки с замечаниями преподавателя.

Отчет по контрольной работе выполняется на писчей бумаге формата А4 (297x210) с обязательной нумерацией страниц. Расчетные формулы, соотношения должны иметь сквозную нумерацию в пределах одной контрольной работы. Нумеруются также рисунки, содержащие схемы, графики и другие иллюстрации, и таблицы. Рисунки желательно представлять в карандаше. В конце пояснительной записки следует поместить список использованной литературы.

В пояснительной записке необходимо предусмотреть поля для замечаний преподавателя.

Образец титульного листа контрольной работы:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

УНИВЕРСИТЕТА

 

КАФЕДРА «Технология машиностроительных производств»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине:

«Теория автоматического управления»

 

Выполнил:

студент группы КТМ-021

Иванов И.И.

 

Проверил:

преподаватель

Сидоров В.В.

 

Камышин

2006

 

                               2.2 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Задана структурная схема системы автоматического регулирования (рис.2).

Рис. 2 а

Рис. 2 б

Рис. 2 в

Рис. 2 г

 

 

Необходимо:

1) найти все эквивалентные (расчетные) передаточный функции замкнутой системы;

2) для разомкнутой чисти системы определить частотные функции и построить соответствующие частотные характеристики: КЧХ, АЧХ, ФЧХ;

5)исследовать заданным методом устойчивость системы.

Передаточные функции звеньев структурных схем имеют вид:

W1(S)= ;	W2(S)= ;	W3(S)=К3;
W4(S)=К4;	W5(S)= ;	W6(S)=К6.

 

Варианты числовых значений параметров приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

№ вар	Значение параметров									№ структур-ной схемы	Критерий устойчи-вости
	К1	К2	К3	К4	К5	К6	Т1	Т2	ξ
1.	2	0.8	4	0.1	2.4	0.5	0.01	0.2	0.8	2б	Михайлова
2.	1.5	4	0.6	0.4	3	-	0.1	0.4	0.1	2а	Гурвица
3.	1.2	3.5	3	0.06	0.18	1.2	0.08	0.1	0.1	2б	Рауса
4.	0.8	3	5	0.2	0.13	-	0.03	0.3	0.2	2в	Найквиста
5.	1.3	5	1.1	0.15	0.1	-	0.04	0.5	1.1	2г	Рауса
6.	0.7	6	0.09	1.5	2	-	0.2	0.12	1.4	2в	Найквиста
7.	1.6	2	0.12	0.09	1.1	-	0.06	0.6	0.3	2г	Гурвица
8.	2	1.8	0.15	0.8	1.8	0.9	0.035	0.15	2	2б	Гурвица
9.	7	1.3	2.8	0.12	0.7	-	0.11	0.7	2	2в	Михайлова
10.	4	2.4	0.19	0.9	3.5	4	0.3	0.3	0.6	2в	Гурвица
11.	1.6	2.5	1.3	0.7	2.8	-	0.07	0.9	0.7	2а	Найквиста
12.	5	1.5	3.7	0.18	1.6	-	0.14	0.25	1	2а	Рауса
13.	1.6	3	3	1.1	0.8	1.5	0.5	0.45	0.4	2б	Рауса
14.	1.7	2	3.6	0.74	0.5	-	0.4	0.8	0.95	2г	Михайлова
15.	1.4	6	0.8	0.4	3.2	-	0.06	0.52	1.2	2а	Михайлова
16.	5	3.3	2.1	0.34	1.3	2.5	0.05	0.27	1.5	2б	Михайлова
17.	2.7	4.5	2.3	0.5	3.6	-	0.15	0.6	0.5	2а	Гурвица
18.	3.4	1.2	4	0.21	2.6	-	0.04	0.47	1.25	2г	Рауса
19.	2	0.8	2	0.5	2.4	0.1	0.01	0.02	0.8	2б	Михайлова
20.	1	4.5	0.6	0.2	2	-	0.2	0.3	0.1	2в	Гурвица
21.	1.5	4	2.5	0.05	0.2	1.2	0.06	0.1	0.1	2б	Рауса
22.	0.5	2.	5	0.2	0.15	-	0.03	0.3	0.2	2в	Найквиста
23.	0.5	6	0.08	1	2	-	0.2	0.12	1.4	2г	Михайлова
24.	0.7	5	0.05	0.09	1.1	-	0.05	0.5	0.4	2г	Гурвица
25.	3	2.5	0.2	0.9	3.5	4	0.3	0.3	0.4	2в	Гурвица
26.	1.5	2	1.3	0.7	2.9	-	0.05	0.9	0.5	2в	Найквиста
27.	1.5	6	38	0.5	0.5	-	0.4	0.8	0.05	2г	Михайлова
28.	5	3.5	2.5	0.5	1.5	2	0.05	0.25	1.5	2б	Найквиста
29.	2.5	4.3	2.3	0.5	3.6	4	0.15	0.6	0.5	2в	Гурвица
30.	2.6	1.6	1.5	0.7	2.5	-	0.07	0.8	0.7	2б	Найквиста
31.	1.6	2	3	1.5	0.8	1.5	0.5	0.45	0.5	2б	Рауса