Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка

 

Линейные дифференциальные уравнения это вида , где P(x), Q(x) – непрерывные функции.

и  входят в уравнение линейно, т.е не перемножаются между собой.

Сделаем замену:

 

 

             

Приравняем скобку к 0

подставим

 - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

 константу интегрирования не прибавляем, т.к достаточно одного частного решения.

Выразим явно

Подставим в (*)

Выразим

Т.к , то проинтегрируем обе части последнего уравнения по х

Общее решение линейного уравнения:

 - всегда получается в явном виде.

Пример:

1)

2)  y(1)=2

 

Уравнения Бернулли

 

, где ;1

 

Решаются такие уравнения так же как и линейные

Замена

 

Явно

 

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

выразим явно u и найдём общее решение

Примеры:

1)

 

Дифференциальные уравнения высших порядков

 

Определение: Дифференциальное уравнение порядка n называется уравнение вида:

уравнение вида:  – называется уравнением разрешенным относительно старшей производной. Для такого уравнения справедлива теорема Коши.

Теорема Коши.

Если функция в (*) непрерывна вместе с частными производными:

 в области содержащей значения

, то существует единственное решение дифференциального уравнения  удовлетворяющее начальным условиям:

Замечание: для дифференциальных уравнений 2 порядка

начальные условия имеют вид:

Решить дифференциальное уравнение порядка n означает:

1)Найти общее решение (общий интеграл)

2)Найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее заданным условиям.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2 порядка

 является функция , такая что:

1) при любых значениях с₁ и с₂ эта функция – решение.

2) каковы бы ни были начальные условия на области, в которой выполняется теорема Коши всегда можно подобрать значения с₁ и с₂ удовлетворяющие начальным условиям.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения 2 порядка является решение, при конкретных значениях с₁ и с₂.

Замечание: общее решение дифференциального уравнения 2 порядка может быть получено в неявном виде: