Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

 

Рассм. ДУ

Общее решение такого уравнения:

, где

ФСР - уже рассматривали

Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения

, если f(x) имеет специальный вид.

Рассмотрим следующие случаи:

I. , где - многочлен степени n.

а)  - не корень характеристического уравнения

, где  - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдём все буквы.

б)  - корень характеристического уравнения кратности 1

в)  - корень характеристического уравнения кратности 2

II.. , где M,Nчисла

a)  не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты.Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при

находим А и В

б)  корень характеристического уравнения кратности 1  

Замечание: Если в правой части есть только  или  

в частном решении  должны быть и sin и cos, т.е тригонометрия должна быть полной.

III.  .

  Где , -многочлены степеней m и n

a)  не корень характеристического уравнения многочлены степени к с неопределенными коэффициентами

б)  корень характеристического уравнения  

                               Метод вариации

 

Рассмотрим ДУ:

Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

, где и - произвольные const, - ФСР.

Будем варьировать и и считать, что и  зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:

(*)

 

объединим  и в систему

 - эта система для нахождения и  имеет единственное решение, т.к определитель системы ,

для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера

, где

, где

решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.

- проинтегрируем по х

, где А и В – константы интегрирования

Таким образом общее решение неоднородного уравнения:

Пример:

1)