2018-02-14
440
Любое реальное колебание происходит в какой-либо среде, которая оказывает сопротивление движению. На преодоление сопротивления среды расходуется часть энергии колеблющегося тела. Происходит рассеяние энергии и уменьшение амплитуды колебаний.
Колебания, амплитуда которых медленно уменьшается с течением времени, называются затухающими.
При достаточно малых скоростях сила сопротивления оказывается пропорциональной скорости:
(23)
где r – коэффициент сопротивления, характеризующий взаимодействие тела со средой (r>0). Знак «-» показывает, что сила сопротивления направлена противоположно скорости.
II закон Ньютона при наличии сил сопротивления примет вид:
(24)
|
|
|
Ведем обозначения: 
, где 
- частота собственных колебаний ГО; 
, где 
- коэффициент затухания. Тогда (24) перепишется в виде:
(25)
(25) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний ГО.
Для решения этого уравнения введем новую переменную z, связанную с x соотношением:
(26)
Найдем 
и 
:
Подставим в (25) и вынесем 
за скобки
Разделим на :
или:
(27)
Предполагая, что сопротивление среды мало 
, обозначим 
и запишем (27) в виде:
(28)
Его решение имеет вид:
(29)
С учетом (26) получим уравнение затухающих колебаний:
(30)
| Из (30) видно, что затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по закону:
 (31)
Циклическая частота затухающих колебаний:
 (32)
|
период затухающих колебаний:
(33)
Выясним теперь физический смысл коэффициента затухания .
|
|
|
Пусть 
- промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшилась в e раз. - время релаксации.
Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени t и (t+t):
(34)
по определению t имеем 
, откуда:
и 
(35)
Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Найдем теперь отношение двух амплитуд At и A(t+T), отстоящих друг от друга на период:
(36)
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называется логарифмическим декрементом затухания:
(37)
С учетом (36)
(38)
Обозначим через Ne – число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз.
Тогда 
и 
, т.е. логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы, кроме логарифмического декремента затухания, используется также величина:
(39)
называемая добротностью контура.
Заметим, что все приведенные здесь вывода верны при 
. Если затухание велико 
, то возникающее движение не является колебательным и носит апериодический характер.
