Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы

Колебания, которые совершаются за счет работы внешних сил, называются вынужденными, а действующая сила – вынуждающей.

Рассмотрим простейший случай – воздействие на систему внешней силы, меняющейся по гармоническому закону:

                                                                                  (40)

где  и  - соответственно амплитудное значение и частота вынуждающей силы.

    Запишем II закон Ньютона для вынужденных колебаний:

                                                                (41)

и вводя обозначения  и , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ГО:

                                                                 (42)

Сразу после приложения вынуждающей силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при котором система участвует в двух колебаниях – свободных затухающих колебаниях и незатухающих колебаниях с частотой w вынуждающей силы. Однако через некоторое время t свободные колебания системы практически прекращаются. Система переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, которые происходят по тому же закону и с той же частотой, с которой меняется вынуждающая сила.

    Поэтому естественно предположить, что решение (42) должно иметь вид:

                                                                                    (43)

Неизвестные амплитуду и начальную фазу найдем с помощью векторной диаграммы этого колебания.

Построим векторную диаграмму для начального момента времени t0. Функция  изобразится вектором , направленным по оси Ox. Функция

 

изобразится вектором  длиной , отложенным от оси Ox под углом (- a). Ускорение  изобразится вектором  длиной , направленным противоположно вектору . Наконец, функция

           

изобразится вектором длиной , перпендикулярным , из треугольника видно, что

                       

Следовательно, амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна:

                                                                          (44)

а начальная фаза определяется из соотношения:

                                                                                         (45)

 

 

Резонансные кривые

    Из (44) следует, что амплитуда A вынужденных колебаний зависит от частоты  собственных колебаний, от частоты , амплитуды  вынуждающей силы и коэффициента затухания .

На рис. представлен график зависимости амплитуды A вынужденных колебаний от частоты  и вынуждающей силы. 1. Пусть , тогда . 2. Пусть  возрастает и стремится к . Если , то с ростом  растет амплитуда A и при  A обращается в бесконечность.

В реальных условиях , поэтому при  амплитуда растет не до бесконечности, а до некоторого максимального значения A_max.

    Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом.

    Частота , при которой A=A_max, называется резонансной частотой.

3. При дальнейшем возрастании  () амплитуда A уменьшается.

Найдем резонансную частоту  из условия минимума подкоренного выражения (44). Для этого возьмем производную по  и приравняем к нулю..

    

                                  ,

откуда видно, что при , при .

Найдем сдвиг фаз при резонансе:

       

Если  мало, то  и . Если , то  и , т.е. смещение при вынужденных колебаниях отстает по фазе от вынуждающей силы на

Волновые процессы.