Подставим эти выражения в уравнения вихревой линии

т.е. получаем уравнения линии тока (3.2).

Таким образом, в этом случае векторы скорости V и угловой ско­рости ω параллельны. Такое движение называется винтовым.

Частицы жидкости при винтовом движении перемещаются по линиям тока (т.к. движение установившееся, то линии тока и траектории частиц совпадают), а линии тока в то же время являются вихревыми линиями, т.е. частицы еще и вращаются вокруг линии тока.

Из условия (4.16) видно, что равенство определителя нулю в этом случае не зависит от координат. Следовательно, постоянство удельной энергии при винтовом движении обеспечивается во всем пространстве, занятом находящейся в винтовом движении жидкостью. Уравнение Бернулли при винтовом движении применимо в любой точке жидкости.

Г. Равенство нулю второй строки определителя ω_x= ω_y = ω_z = 0 означает, что движение безвихревое (потенциальное).

Уравнение Бернулли (4.14) действительно для всех точек области потенциального движения жидкости.

Д. Условие равенства нулю членов третьей строки определителя
V_x = V_y = V_z = 0 соответствует равновесию (покою) жидкости.

 

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ

НЕВЯЗКОГО ГАЗА

 

Выведенные в предыдущем параграфе уравнения, как отмечалось, приемлемы как для несжимаемой невязкой жидкости, так и подобного ей газа. Такое состояние газа возможно только при постоянстве давления и температуры по длине потока. В противном случае, вследствие большой сжимаемости газа (см.1.3) зависимости, полученные при
ω = const, становятся для газа неприменимыми.

Поэтому выражение (4.13) проинтегрируем при ω = var.

В этом случае имеем .

И по аналогии с предыдущим примером, когда действует только одна массовая сила - сила тяжести, будет

.                        (4.17)

Напомним, что данное уравнение выражает полную удельную энергию в любом сечении элементарной струйки.

Интеграл (последнее слагаемое) в уравнении (4.17) характеризует изменение состояния газа от некоторых начальных до рассматриваемых условий (параметров). Обычно начальным условием считается плотность свободного газа при атмосферном давлении и принятой температуре. Связь термодинамических параметров для газа описывается уравнением Клайперона (1.14) и различают изотермический и адиабатический процессы.

А. Изотермический процесс. Процесс, характеризующийся постоянством температуры, является наиболее вероятным процессом, наблюдаемым при транспортировании газа, по трубам. Это объясняется хорошим теплообменом между потоком газа и внешней средой.

Изотермический процесс выражается зависимостью

,

где  - постоянная, определяемая начальными параметрами
р_о и r _о.

Тогда . Вычисляя интеграл  в пределах от р_о до р, получим

.

Отсюда уравнение Бернулли для газа при изотермическом процессе имеет вид

.                   (4.18)

Б. Адиабатический процесс. Такой процесс возможен, если изменение состояния газа происходит с большой скоростью, когда можно пренебречь теплообменом между потоком газа и внешней средой. Адиабатический процесс выражается зависимостью

,

где k - показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении (С_р) к его теплоемкости при постоянном объеме (С_v) т.е.

.

Для начальных условий будет  или .

Отсюда . Тогда решение интеграла   имеет вид:

.

После преобразований получим

.

С практически небольшой погрешностью решение интеграла запишем в виде

.

Тогда уравнение (4.17) запишется как

.                              (4.19)

Имея в виду уравнение Клайперона (1.14) выражение (4.19) можем переписать

(4.20)

Следовательно, при больших перепадах давления и температуры по длине струйки полная удельная энергия равна сумме потенциальной, кинетической и тепловой (последнее слагаемое в (4.20)) энергии.

Уравнения (4.18) и (4.20) являются основными при исследованиях и расчетах установившегося движения сжимаемого невязкого газа.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Чем отличается модель «невязкая жидкость»?

2. Каков смысл преобразований уравнений Эйлера, выполненных Громекой, и представления этих уравнений в форме, данной Громекой? Запишите уравнения Эйлера—Громеки.

3. Какой вид имеет уравнение движения невязкой жидкости вдоль ли­нии тока?

4. Как записывается уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой несжимаемой жидкости, если из массовых сил действует только сила тяжести?

5. Как изменяется уравнение Бернулли по сравнению с предыдущим случаем, если на жидкость помимо силы тяжести действуют и силы инерции?

6. Что такое удельная энергия?

7. Какой физический закон выражает уравнение Бернулли?

8. Что такое пьезометрический, скоростной и полный напор? Как они изменяются по длине (вдоль направления движения)?

9. Справедливо ли уравнение Бернулли на линиях тока?

 

ЛЕКЦИЯ 5. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ). НАПРЯЖЕНИЯ В ДВИЖУЩЕЙСЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. УДЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПОТОКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА.