Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать

. (4.8)

Произведя перегруппировку членов уравнения по сечениям струйки, получим

. (4.9)

Это уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

Анализируя полученный результат, можем отметить, что с двумя членами уравнения Бернулли мы уже знакомы. Это геометрический (z) и пъезометрический (p/pg) напоры, сумма которых является полным напором в любой точке объема покоящейся жидкости.

Третий член уравнения вида имеет также линейную размерность и называется скоростным напором, а трехчлен вида - полным напором.

Уравнение Бернулли (4.9) записано для двух проивольно взятых сечений элементарной струйки и выражает равенство полных напоров в этих сечениях.

Таким образом, имеем: для идеальной движущейся жидкости полный напор есть величина постоянная вдоль струйки.

Поскольку трехчлен уравнения Бернулли, как и все его составляющие, имеет линейную размерность, то приведенный вывод отражает геометрический смысл уравнения Бернулли и может быть представлен графически. Примером, иллюстрирующим это положение, может служить график, приведенный на рис.4.2.

Рис.4.2. График изменения напоров вдоль струйки

идеальной жидкости

На графике показано изменение всех трех напоров (высот) вдоль струйки. На участке струйки между сечениями 1 и 2 диаметр струйки не изменяется. Поэтому не меняется и скорость движения жидкости и, как следствие этого, постоянен скоростной напор.

На участке от сечения 2 до сечения 3 струйка плавно сузилась, исходя из уравнения расходов (3.11) скорость жидкости будет возрастать пропорционально уменьшению диаметра струйки.

Так на графике в сечении 3 диаметр струйки стал в два раза меньше, чем на участке 1-2, т.е. d₂ = 0,5d₁. Как следствие этого скорость жидкости в сечении 3 увеличится в 4 раза, а скоростной напор в 16 раз, а сечение 5 вновь стало равно сечению 1.

Штриховой линией показана пьезометрическая линия при увеличении расхода в раз, вследствие чего скоростные напоры увеличиваются в 2 раза, а в узкой части струйки (между сечениями 3 и 4) давление становится меньше атмосферного.

Уравнение Бернулли можно записать в другой форме. Умножив все составляющие уравнения (4.4) на ускорение g, получим

. (4.10)

Проанализируем размерности каждого члена этого уравнения.

Видно, что эта составляющая представляет собой работу (энергию) сил давления, приходящуюся на единицу массы жидкости, т.е. удельную работу сил давления.

Составляющая , очевидно, представляет собой удельную потенциальную энергию (энергию положения), т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте , обладает энергией положения, равной .

Составляющая представляет собой удельную кинетическую энергию, т.к. для той же частицы массой кинетическая энергия составит .

Таким образом, трехчлен уравнения Бернулли представляет сумму удельных энергий частиц жидкости в рассматриваемом сечении. Отсюда, энергетический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия жидкости в любом сечении струйки является постоянной величиной.

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.

Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления и кинетическая энергия. Первая и третья формы механической энергии известны из механики и они
в равной степени свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущейся жидкости. Ее легко преобразовать в механическую работу.

Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидравлический цилиндр (рис.4.3).

Рис.4.3. Гидравлический цилиндр

При перемещении поршня влево жидкость должна преодолеть сопротивление движению R. Это произойдет, если в левой полости гидроцилиндра будет избыточное давление р, достаточное, чтобы создать усилие

, (4.11)