Для потенциального барьера произвольной формы, в квазиклассическом приближении (достаточно плавный профиль потенциальной кривой), получается подобная (12) формула

                             ,                                   (13)
где ,  (см. рис.).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при  невозможно, так как, находясь в области барьера, она обладала бы отрицательной кинетической энергией. Т.е. туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом, не имеющий аналога в классической механике.

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники являются примерами классических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением

                                             ,                                                    (14)
где w – собственная частота колебаний осциллятора, m – масса частицы. Амплитуда колебаний классического осциллятора  определяется его полной энергией E. Классическая частица совершает движение в пределах (, ).

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера

                                ,                                       (15)
где E – полная энергия осциллятора. Уравнение (15) имеет конечные и непрерывные решения при собственных значениях энергии

                               .                                     (16)

Уровни энергии гармонического осциллятора являются равноотстоящими друг от друга. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется энергией нулевых колебаний. Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности переходов из одного состояния в другое. Вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу

                                                  .                                                        (17)
Условие (17) на возможные переходы называется правилом отбора. Таким образом, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями .

Атом водорода. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона. При  система представляет собой атом водорода, при – водородоподобный ион.