Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальнойяме

 

Пусть частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме и может двигаться вдоль оси х в интервале значений от х = 0 до х = l (рис.51).

Рис.51

Тогда потенциальная энергия частицыU = 0 в интервале и обращается в бесконечность U = ∞ при х < 0 и х > l. Поскольку движение зависит только от одной координаты, то уравнение Шредингера имеет вид

.                               (69)

Граничные условия 

В области движения частицы U = 0, поэтому (69) примет вид

.

Обозначив , имеем уравнение , совпадающее по форме с уравнением гармонических колебаний, поэтому его решение может быть записано в виде

,

где А и α неизвестные.

    Из начального условия находим

Из условия

находим, что последнее выражение удовлетворяется, если

, где n = 1,2, 3,…

n = 0 отпадает, так как при этом получится, что частица нигде не находится

.Из выражений и  находим

,

откуда получаем дискретные собственные значения энергии микрочастицы (уровни энергии)

,

пропорциональные квадратам целых чисел n = 1, 2, 3,….Расстояние между энергетическими уровнями

возрастает с ростом n (рис.). Собственными функциями будут выражения

Амплитуду А находим из условия нормировки волновой функции

.

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла получаем, умножив среднее значение на длину промежутка l:  откуда  и

.                           (70)

Графики функций (70) изображены на рис.52а. На рис.52б представлена плотность вероятности  обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

а б

Рис.52

Как следует из графиков, например, с n=2, частица не может быть обнаружена в середине ямы и одинаково часто обнаруживается в левой и правой половинах ямы. Такое поведение частицы не совместимо с представлением о траектории. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Туннельный эффект

    Различние свойств макро- и микрочастицобнаруживается при их встрече с потенциальным барьером. Пусть область движения частицы вдоль оси х разделена потенциальным барьером на две частиIиIII так, что потенциальная энергия частицы равна нулю в области х < 0 и х > а и имеет постоянное значение (рис.53). Потенциальная энергия частицы Uимеет постоянное значение в областиII 0 ≤ х ≤ а.

 

Рис.53

 

    Если полная энергия частицы W<U, то с классической точки зрения частица, движущаяся к барьеру, в области I не может проникнуть в область барьера II, так как там кинетическая энергия частицыW-U оказалась быотрицательной, что невозможно. Значит, частица, полная энергия которой меньше высоты потенциального барьера W< U не может перейти через барьер в область III. Не так обстоит дело для микрочастицы, поведение которой описывается уравнением Шредингера. Волновая функция частицы будет отличной от нуля в области II и III.Значит,вероятность проникнуть через барьер отличен от нуля. Если энергия частицы W>U, тогда очевидно вероятность проникновения и с классической и с квантовой точки зрения в области II и III отлична от нуля, но с квантовой точки зрения сохраняется вероятность, что частица будет отброшена от барьера вновь в область I. Явление проникновения микрочастиц сквозь потенциальный барьер называется туннельным эффектом. Для его описания вводится понятие прозрачности (или коэффициента прозрачности) потенциального барьера. Она выражается как отношение интенсивностей прошедшей сквозь барьер и падающей волн де Бройля

В случае потенциального барьера высотой U₀ и шириной а прозрачность барьера равна

                                  (71)

где m – масса частицы, W – ee энергия, - постоянная. Как видно, прозрачность сильно зависит от высоты и ширины барьера.

    Туннельный эффект, как чисто квантовое явление можно объяснить принципом неопределенностей Гейзенберга, согласно которой ввиду неопределенности энергии она может оказаться выше высоты барьера (частица проходит сквозь барьер при W< U) и может оказаться ниже (частица отбрасывается от барьера приW> U).

    Туннельный эффект получил экспериментальное подтверждение в явлении термоэлектронной эмиссии электронов из металла. И в явлениях ионизации атомов и молекул. Туннельный эффект играет основную роль в явлении радиоактивного α-распада.