2018-02-14
221
Шаг 1
Оценим уравнение d(int) c tr int(-1).
| Dependent Variable: D(INT) | ||||
| Method: Least Squares | ||||
| Date: 05/19/07 Time: 15:30 | ||||
| Sample(adjusted): 1961 2005 | ||||
| Included observations: 45 after adjusting endpoints | ||||
| Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
| C | 177.6345 | 81.11148 | 2.190004 | 0.0341 |
| TR | -2.235896 | 1.163237 | -1.922132 | 0.0614 |
| INT(-1) | -0.195288 | 0.094567 | -2.065078 | 0.0451 |
| R-squared | 0.116762 | Mean dependent var | -7.155556 | |
| Adjusted R-squared | 0.074703 | S.D. dependent var | 94.79546 | |
| S.E. of regression | 91.18599 | Akaike info criterion | 11.92802 | |
| Sum squared resid | 349225.2 | Schwarz criterion | 12.04846 | |
| Log likelihood | -265.3805 | F-statistic | 2.776152 | |
| Durbin-Watson stat | 1.462575 | Prob(F-statistic) | 0.073728 | |
Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции с помощью встроенного теста Бреуша-Годфри.
| Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
| F-statistic | 4.369079 | Probability | 0.042840 |
| Obs*R-squared | 4.333537 | Probability | 0.037369 |
В данном случае Prob=0,042, то есть, можно сказать, что на 5% уровне значимости автокорреляции есть. Для устранения автокорреляции добавим лаги зависимой переменной. Поскольку данные ежегодные, добавим один лаг.
| Dependent Variable: D(INT) | ||||
| Method: Least Squares | ||||
| Date: 05/22/07 Time: 21:02 | ||||
| Sample(adjusted): 1962 2005 | ||||
| Included observations: 44 after adjusting endpoints | ||||
| Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
| C | 258.2866 | 83.02227 | 3.111052 | 0.0034 |
| TR | -2.729781 | 1.155871 | -2.361665 | 0.0232 |
| INT(-1) | -0.289899 | 0.096507 | -3.003916 | 0.0046 |
| D(INT(-1)) | 0.342144 | 0.147849 | 2.314153 | 0.0259 |
| R-squared | 0.242835 | Mean dependent var | -6.181818 | |
| Adjusted R-squared | 0.186048 | S.D. dependent var | 95.66348 | |
| S.E. of regression | 86.30693 | Akaike info criterion | 11.84020 | |
| Sum squared resid | 297955.5 | Schwarz criterion | 12.00240 | |
| Log likelihood | -256.4845 | F-statistic | 4.276214 | |
| Durbin-Watson stat | 1.981296 | Prob(F-statistic) | 0.010393 | |
Проверим на автокорреляцию.
| Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
| F-statistic | 0.021389 | Probability | 0.884478 |
| Obs*R-squared | 0.024118 | Probability | 0.876585 |
Prob=0,88, следовательно автокорреляции нет.
Шаг 2
Проверим гипотезу о том, что тренда нет, а единичный корень есть.
Н0: (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0)
Н1: (μ, β, ρ) ≠ (μ, 0, 0)
Данную гипотезу будем проверять с помощью теста Вальда о коэффициентах. То есть проверим, что с(2)=с(3)=0.
| Wald Test: | ||||
| Equation: Untitled | ||||
| Null Hypothesis: | C(2)=0 | |||
| C(3)=0 | ||||
| F-statistic | 5.173027 | Probability | 0.010044 | |
| Chi-square | 10.34605 | Probability | 0.005667 | |
Используем специальную статистику Ф3, которая для данной регрессии составляет 6,73 (так как уровень значимости 5% и количество наблюдений 45).
 |
Таким образом, 5,17<6,73, то есть нулевая гипотеза не отвергается.
Шаг 5
Так как не отвергается гипотеза о том, что (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0), мы можем сказать, что существует единичный корень без тренда, но с возможным дрейфом. Можем убедиться, что ρ = 0. Для этого проверим следующую гипотезу:
Н0: ρ = 0
Н1: ρ ≠ 0
Так как тренда нет, нужно использовать нестандартную статистику τ.
Проверим с помощью теста Вальда, что с(3)=0
| Wald Test: | ||||
| Equation: Untitled | ||||
| Null Hypothesis: | C(3)=0 | |||
| F-statistic | 9.023514 | Probability | 0.004582 | |
| Chi-square | 9.023514 | Probability | 0.002665 | |
Таким образом, -2,93<9,02, то есть нулевая гипотеза не отвергается.
Шаг 6
Мы знаем, что (β, ρ) = (0, 0). Далее нужно определить, является ли данный процесс случайным блужданием с дрейфом или без. Для этого проверим гипотезу:
Н0: (μ, β, ρ) = (0, 0, 0)
Н1: (μ, β, ρ) ≠ (0, 0, 0)
С помощью теста Вальда проверим, что с(1)=с(2)=с(3)=0.
| Wald Test: | ||||
| Equation: Untitled | ||||
| Null Hypothesis: | C(1)=0 | |||
| C(2)=0 | ||||
| C(3)=0 | ||||
| F-statistic | 3.495291 | Probability | 0.024137 | |
| Chi-square | 10.48587 | Probability | 0.014857 | |
Для проверки используем специальное распределение Ф2. Так как число наблюдений 45, и уровень значимости 5%, то Ф2=5,13
 |
Таким образом, 3,49<5,13, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.
Шаг 7
Можно подтвердить результаты, о том, что данный ряд это случайное блуждание без дрейфа, проверив гипотезу о том, что (μ, ρ) = (0,0) для уравнения d(int) c int(-1). Оценим это уравнение:
| Dependent Variable: D(INT) | ||||
| Method: Least Squares | ||||
| Date: 05/22/07 Time: 21:07 | ||||
| Sample(adjusted): 1961 2005 | ||||
| Included observations: 45 after adjusting endpoints | ||||
| Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
| C | 72.04559 | 61.51903 | 1.171111 | 0.2480 |
| INT(-1) | -0.115976 | 0.087716 | -1.322181 | 0.1931 |
| R-squared | 0.039067 | Mean dependent var | -7.155556 | |
| Adjusted R-squared | 0.016719 | S.D. dependent var | 94.79546 | |
| S.E. of regression | 93.99966 | Akaike info criterion | 11.96789 | |
| Sum squared resid | 379945.3 | Schwarz criterion | 12.04818 | |
| Log likelihood | -267.2774 | F-statistic | 1.748163 | |
| Durbin-Watson stat | 1.447214 | Prob(F-statistic) | 0.193098 | |
Проверим наличие автокорреляции:
| Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
| F-statistic | 4.622707 | Probability | 0.037356 | |
| Obs*R-squared | 4.461814 | Probability | 0.034661 | |
На 5% уровне значимости автокорреляция есть. Добавим лаги зависимой переменной.
| Dependent Variable: D(INT) | ||||
| Method: Least Squares | ||||
| Date: 05/22/07 Time: 21:09 | ||||
| Sample(adjusted): 1962 2005 | ||||
| Included observations: 44 after adjusting endpoints | ||||
| Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
| C | 125.0448 | 64.21684 | 1.947228 | 0.0584 |
| INT(-1) | -0.188940 | 0.091224 | -2.071152 | 0.0447 |
| D(INT(-1)) | 0.334296 | 0.155844 | 2.145067 | 0.0379 |
| R-squared | 0.137259 | Mean dependent var | -6.181818 | |
| Adjusted R-squared | 0.095174 | S.D. dependent var | 95.66348 | |
| S.E. of regression | 90.99736 | Akaike info criterion | 11.92528 | |
| Sum squared resid | 339501.3 | Schwarz criterion | 12.04693 | |
| Log likelihood | -259.3563 | F-statistic | 3.261463 | |
| Durbin-Watson stat | 1.913478 | Prob(F-statistic) | 0.048479 | |
Проверим на автокорреляцию.
| Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
| F-statistic | 0.258327 | Probability | 0.614063 |
| Obs*R-squared | 0.282337 | Probability | 0.595174 |
Автокорреляция ушла.
Проверим гипотезу
Н0: (μ, ρ) = (0, 0)
Н1: (μ, ρ) ≠ (0, 0)
Проверим с(1)=с(2)=0 с помощью теста Вальда.
| Wald Test: | ||||
| Equation: Untitled | ||||
| Null Hypothesis: | C(1)=0 | |||
| C(2)=0 | ||||
| F-statistic | 2.207725 | Probability | 0.122856 | |
| Chi-square | 4.415449 | Probability | 0.109951 | |
Для проверки используем специальное распределение Ф1. Число наблюдение 45, уровень значимости 5%, то есть Ф1=4,86.
 |
Таким образом, 2,20<4,86, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.
То есть по результатам расширенного теста Дики-Фуллера можно сказать, что ряд int не стационарен и является по крайней мере первого порядка интегрируемости, то есть I(1).
Проведем расширенный тест Дики-Фулера для первой разности этого ряда.
Шаг 1
Оценим уравнение d(dint) c dint(-1), где dint=d(int).
| Dependent Variable: D(DINT) | ||||
| Method: Least Squares | ||||
| Date: 05/19/07 Time: 15:58 | ||||
| Sample(adjusted): 1962 2005 | ||||
| Included observations: 44 after adjusting endpoints | ||||
| Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
| C | -4.875114 | 14.27440 | -0.341529 | 0.7344 |
| DINT(-1) | -0.783038 | 0.150761 | -5.193892 | 0.0000 |
| R-squared | 0.391097 | Mean dependent var | -0.159091 | |
| Adjusted R-squared | 0.376599 | S.D. dependent var | 119.6796 | |
| S.E. of regression | 94.49389 | Akaike info criterion | 11.97934 | |
| Sum squared resid | 375022.0 | Schwarz criterion | 12.06044 | |
| Log likelihood | -261.5454 | F-statistic | 26.97651 | |
| Durbin-Watson stat | 1.898762 | Prob(F-statistic) | 0.000006 | |
Тренд в уравнение не включаем, так как его нет для исходного ряда, то есть его не может быть и у первой разности данного ряда. Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции.
| Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
| F-statistic | 1.825467 | Probability | 0.184073 |
| Obs*R-squared | 1.875532 | Probability | 0.170843 |
Prob=0,18 то есть автокорреляции нет.
Шаг 2
Проверим гипотезу о наличии единичного корня.
Н0: (μ, ρ) = (μ, 0)
Н1: (μ, ρ) ≠ (μ, 0)
С помощью теста Вальда проверим, что c(2)=0
| Wald Test: | ||||
| Equation: Untitled | ||||
| Null Hypothesis: | C(2)=0 | |||
| F-statistic | 26.97651 | Probability | 0.000006 | |
| Chi-square | 26.97651 | Probability | 0.000000 | |
Используем для проверки гипотезы статистику Ф3=6,73 (как и в предыдущем шаге 2 для исходного ряда).
 |
Таким образом, 6,73<26,9, то есть нулевая гипотеза отвергается, таким образом, единичного корня нет, то есть первая разность стационарна, и ряд первого порядка интегрируемости, то есть int ~ I(1).
