Основное уравнение гидростатики. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

В оспользуемся приведенным дифференциальным уравнением Эйлера (31)

В рассматриваемом случае проекции ускорения массовой силы на соответствующие координатные оси Х = 0; У=0; Z=g, следовательно, уравнение примет вид

 (33)

Интегрируя уравнение, получим

 (34)

где р — гидростатическое давление; с — постоянная интегриро­вания, величина которой определяется из граничных условий.

Возьмем точку А на свободной поверхности жидкости на­шего сосуда, гидростатическое давление в которой равно р_а. Тогда из (34) получим  (35).

Подставляя значение с из уравнения (35) в (34), будем иметь

 (36)

Здесь р — абсолютное давление в рассматриваемой точке.

Для рассматриваемого сосуда координата z соответствует глубине погружения h некоторой точки. Заменяя значение теку­щей координаты z на величину глубины /г, получим

 (37)

где р — абсолютное давление в рассматриваемой точке; pgh — избыточное гидростатическое давление в рассматриваемой точке; ро — давление на свободной поверхности.

Уравнение (37) называют основным уравне­нием гидростатики.

Дифференциальные уравнения равновесия жидко­сти впервые опубликованы действительным членом Российской академии наук Леонардом Эйлером в 1755 г. Выведем дифференциальные уравнения, для чего выделим внутри покоящейся жидкости элементарный параллелепипед со сторонами dх, Ay, dz, параллельными осям координат (рис. 4). На элементарный параллелепипед действуют: силы гидростатического давления от окружающей жидко сти dp_x, dp_y, dp_z, которые направлены нормально к поверхностям всех граней параллелепипеда и приложены в центрах их тя­жести; массовые силы (силы тяжести, центробежная, силы инер­ции), которые непрерывно распределены по всему объему па­раллелепипеда и имеют равнодействующую dG. Рассмотрим силы гидростатического давления. Давление в жидкости изменяется непрерывно и зависит от координат рас­сматриваемой точки, т. е. p = f(x, у, z). Пусть в центре тяжести параллелепипеда (точка А) гидро­статическое давление равно р. Учитывая непрерывность измене­ния давления в жидкости при перемещении вправо или влево от точки А, давление в разных точках будет изменяться на вели­чину dp, а на единицу длины параллелепипеда будет равно dp/dx. Но при переходе от точки А по оси х ко второй точке изменяется только координата х, а две другие координаты остаются те же, что в точке А, поэтому вместо dp/dx следует писать част­ную производную др/дх. Суммарная сила гидростатического давления, действующая на левую грань параллелепипеда, равняется пооизведению гид­ростатического давления на ее площадь

на правую грань соответственно — .Знак минус в этом выражении означает, что сила гидростатического давления действует в сторону противоположную направлению координатной оси х. Тогда силы гидростатического давления, действующие на левую и правую грани параллелепипеда, соот

Указанную функцию называют потенциальной или силовой, а силы, удовлетворяющие условиям (32), называют силами, имеющими потенциал (запас энергии). Итак, жидкость может находиться в равновесии, когда мас­совые силы, действующие на нее, будут иметь потенциал. Наи­более известные силы, имеющие потенциал, — этосилытяжестии силы инерции.

Проинтегрируем дифференциальные уравнения равновесия жидкости, находящейся только под действием сил тяжести. Та­ково состояние жидкости во всех водоемах, озерах, водохрани­лищах, сосудах, резервуарах, гидротехнических и других соору­жениях. Для этого возьмем сосуд, наполненный жидкостью на глубину h (рис. 5). Жидкость в сосуде находится в покое, и на нее, следовательно, будет действовать только сила тяжести.