Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность. Гидростатический парадокс

Имеем сосуд (рис. 12, а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погру­жения этой точки. Если взять точки А, В и С, то давления в них будут соответственно равны

Сила гидростатического давления на горизонтальную пло­щадку (Ос

Сила гидростатического давления на все дно сосуда площа­дью и может быть определена по Аоомуле -

 (67)

Следовательно, суммарная сила давления жидкости на гори­зонтальную поверхность равна весу столба жидкости/ располо­женной над рассматриваемой поверхностью.

На рис. 12, б изображены три сосуда различной формы. Пло­щадь дна Q всех трех сосудов одинакова. Все сосуды напол­нены однородной жидкостью на глубину Н. На рис. 12, б Н= H1+H₂. Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным p = pgH.

Суммарная сила гидростатического давления на- дно любого из трех показанных на рис. 12, б сосудов будет также одинако­вой и равной P = pxQ = pgHQ. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению с сосудом // и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде /// по сравнению с сосудом II. Нет ли здесь противоречия с законами физики? Законы гидравлики утверждают, что давление жидко­сти не зависит от формы сосуда, а зависит от

глубины погружения площади-и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который мо­жет быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля). Например, на дно сосуда /// действует сум­марная сила гидростатического давления P = pgHQ. Что ка­сается жидкости, находящейся в объемах (АВС)В\тл (А'В'С')В', то ее вес воспринимается наклонными стенками, а не дном со­суда. Безусловно, если сосуд /// будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Сле­довательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует. Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глу­бины наполнения сосуда и величины площади его дна и не за­висит от формы сосуда. тогда

 (69)

где jq t/dco — статический момент площади относительно оси х. Как известно, статический момент площади равен произведе­нию площади на расстояние у₀ от центра его тяжести до рас­сматриваемой оси. Следовательно,

На рис. 13 видно, что y₀s\na = h₀. Тогда, подставляя значе­ние статического момента в уравнение (69) и заменяя через h₀ получим

 ' (70)

При ро—ра на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направлен­ные навстречу друг к другу. Поэтому формула (70) для этого случая будет иметь вид

 (71)

Из уравнения (71) видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению пло­щади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести. Нетрудно видеть также, что сила Р состоит из двух слагаемых! внешней силы суммарного гидростатического давления рой и силы избыточного давления pg/ioQ. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры. Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.

3. Определение местоположения центра давления

Центром давления называют точку приложения равнодей­ствующей избыточного гидростатического давления. Для уста­новления размеров щитов, затворов и других частей" сооруже­ний определяют не только величину, но и точку приложения суммарной силы гидростатического давления.

Для определения центра давления Ц. Д. обратимся вновь к рис. 13 и воспользуемся известной теоремой теоретической механики о том, что момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил. На основании указанной теоремы напишем уравнение моментов относительно оси х, по­лагая, что координата центра давления равна г/_с-Тогда

 (72)

Из.рисунка видно, что

Равнодействующая сила

 (73) В свою очередь

Но интеграл §_u&<s>y* = I_x — момент инерции смоченной пло­щади относительно оси х.

Тогда pgsina^Q^^pgsin/,, или

 (74) и ордината центра давления

 (75) Момент инерции /_ж может быть определен по формуле

 (76)

гДе /о — момент инерции смоченной фигуры, вычисленный от­носительно оси, проходящей через центр ее тяжести.

Подставим значение /* в уравнение (75). После несложных преобразований окончательно получим

(77)

Отсюда следует, что центр давления всегда располагается ниже центра тяжести фигуры на величину /о/Йг/о, в случае, когда щит расположен горизонтально, его центр давления сов­падает с центром тяжести.

Силы давления жидкости на криволинейные  поверхности. Определение точки приложения.

В расчетной практике важно уметь определять давление жидкости на криволинейные поверхности. Возьмем цилиндри­ческую поверхность АВ (рис. 16) и выведем расчетную зависи­мость для определения суммарного гидростатического давления на'эту поверхность при ро = Ра-Координатные оси х и у проведем через начало и конец криволинейной поверхности АВ; жидкость находится справа от кривой АВ. Выделим на криволинейной поверхности АВ элементарную площадку dco. Элементарную силу гидростатиче­ского давления, действующую на эту площадку, обозначим че­рез dP. Разложим dP на горизонтальную dP_x и вертикальную dP_v составляющие. Спроектируем dco на горизонтальную и вер­тикальную плоскости xoz и уог, обозначив указанные проекции соответственно через do_x и dco_y. Определим горизонтальную составляющую силу Р_х равно­действующей суммарного гидростатического давления на вер­тикальную плоскость уог. Сила гидростатического давления на элементарную площадку da, как ранее указывалось, будет

а ее горизонтальная составляющая

или

но dw cos a = dcoj,, следовательно,

 (88)

Для нахождения горизонтальной составляющей силы Р_х суммарного гидростатического давления необходимо проинте­грировать выражение (88) по всей площади &_у. Тогда

 (89)

Но — статический момент площади Q_y относительно

оси oz. Тогда мы можем написать

где Q_y — проекция криволинейной поверхности АВ на верти­кальную. плоскость yoz; h_u — глубина погружения центра тяжести площади Q_v, причем Ao = Ai/2.

Подставляя приведенные' значения в выражение (89), получим формулу для опреде­ления горизонтальной состав­ляющей суммарного гидроста­тического давления, действую­щего на криволинейную по­верхность:

 (90)

По своему виду формула (90) аналогична формуле для определения суммарного дав­ ления на плоские фигуры с той

лишь разницей, что здесь площадь Q_y есть проекция криволи­нейной поверхности на вертикальную плоскость yoz, а не сама криволинейная поверхность.

Определим вертикальную составляющую силу Р_у суммар­ного гидростатического давления, действующего на криволиней­ную поверхность.

Согласно рис. 16 мы можем написать

но dwsin a = dti>_x, следовательно,

Вертикальная составляющая сила суммарного гидростатиче­ского давления на всю криволинейную поверхность

где  — объем жидкости, называемый телом дав-

ления. Тогда

 (91)

Таким образом, вертикальная составляющая суммарного гидростатического давления жидкости на криволинейную по­верхность равна произведению объема тела V давления на pg.

Зная составляющие силы Р_х и Р_у, величину равнодействую­щей суммарного гидростатического давления на криволиней­ную поверхность можем определить по формуле

 (92)

Следовательно, р а вне-действующа я сила сумм'ар-ного гидростатического давлен и-я на криво­линейную поверхность равна корню квадрат­ному из суммы квадратов ее составляющих

Рх И Р_у.