Свойства средней линии треугольника

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.

Треугольники.

Прямоугольный треугольник.

Метрические соотношения.

    ;

    ;

    ; ;

    ,

где - проекции катетов ,  на гипотенузу ;  -высота.

Соотношения между сторонами и углами.

sin A = ;        tg A = ;         cos A = ;       ctg A = ;

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

R = =m;    r = , m –медиана, проведённая из вершины прямого угла.

Формула площади.         S = .

Произвольный треугольник.

Определение вида треугольника по его сторонам:

- если , то треугольник остроугольный;

- если , то треугольник прямоугольный;

- если , то треугольник тупоугольный; где c –наибольшая сторона

Соотношения между сторонами и углами.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 .

2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).

3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и,наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

4. a² = b² + c² – 2bc  (теорема косинусов).

5.  =  =  = 2R(теорема синусов).

Свойства медиан.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника

3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

4. m = , где m– медиана, проведённая к стороне с.

Свойства биссектрис.

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности вписанной в треугольник.

2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Свойство высот.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

1. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.

2. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.