2015-04-12
6906
Задача 1. Построить линию пересечения треугольников ABC и EDK и показать видимость их в проекциях. Определить натуральную величину треугольника ABC. Данные для своего варианта взять из таблицы 1. Пример выполнения листа 1 приведен на рисунке 3.
Таблица 1 - Данные к задаче 1 (размеры и координаты, мм)
| №варианта | XA | YA | ZA | XB | YB | ZB | XC | YC | ZC | XD | YD | ZD | XE | YE | ZE | XK | YK | ZK |
Указания к решению задачи 1. В левой половине листа формата A3 (297 × 420 мм) намечаются оси координат и из таблицы 1 согласно своему варианту берутся координаты точек А, В, С, D, Е, К вершин треугольников (рис. 3). Стороны треугольников и другие вспомогательные прямые проводятся вначале тонкими сплошными линиями. Линии пересечения треугольников строятся по точкам пересечения сторон одного треугольника с другим или по точкам пересечения каждой из сторон одного треугольника с другим порознь. Такую линию можно построить, используя вспомогательные секущие проецирующие плоскости.
 | Рисунок 3 - Пример выполнения листа 1 контрольной работы 1 |
Видимость сторон треугольника определяется способом конкурирующих точек. Видимые отрезки сторон треугольников выделяют сплошными основными линиями, невидимые следует показать штриховыми линиями. Определяется натуральная величина треугольника ABC.
Плоскопараллельным перемещением треугольник ABC приводится в положение проецирующей плоскости и далее вращением вокруг проецирующей прямой в положение, когда он будет параллелен одной из плоскостей проекций.
В треугольнике ABC следует показать и линию MN пересечения его с треугольником EDK.
Выполнив все построения в карандаше, чертеж обводят цветной пастой. Вначале, используя «балеринку», помечают кружками характерные точки. Черной пастой обводят линии заданных треугольников, а красной пастой - линию пересечения треугольников. Все вспомогательные построения должны быть обязательно показаны на чертеже в виде тонких линий синей (зеленой) пастой.
Видимые части треугольников в проекциях можно покрыть очень бледными тонами красок или цветных карандашей. Все буквенные или цифровые обозначения, а также надписи обводят черной пастой.
Лист 2
Задача 2. Построить проекции пирамиды, основанием которой является треугольник ABC, а ребро SA определяет высоту h пирамиды. Данные для своего варианта взять из таблицы 2. Пример выполнения листа 2 приведен на рисунке 4.
Таблица 2 - Данные к задаче 2 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XA | YA | ZA | XB | YB | ZB | XC | YC | ZC | h |
Указания к решению задачи 2. В левой половине листа формата A3 намечаются оси координат и из таблицы 2 согласно своему варианту берутся координаты точек А, В и С вершин треугольника ABC. По координатам строится треугольник в проекциях. В точке А восставляется перпендикуляр к плоскости треугольника и на нем выше этой плоскости откладывается отрезок AS, равный заданной величине h. Строятся ребра пирамиды. Способом конкурирующих точек определяется их видимость.
Видимые ребра пирамиды следует показать сплошными основными линиями, невидимые - штриховыми линиями. Стороны треугольника ABC (основание пирамиды) следует обвести черной пастой; ребра SA, SB, и SC пирамиды обвести красной пастой. Все вспомогательные построения необходимо сохранить на эпюре и показать их тонкими сплошными линиями зеленой (синей) пастой.
Задача 3. Построить линию пересечения пирамиды с прямой призмой. Данные для своего варианта взять из таблицы 3. Пример решения задачи 3 приведен на рисунке 4.
Таблица 3 - Данные к задаче 3 (координаты и размеры, мм)
| Показатели | № варианта | |||||||||||||||||
| XA YA ZA XB YB ZB XC YC ZC XD YD ZD XE YE ZE XK YK ZK XG YG ZG XU YU ZU h |
Указания к решению задачи 3. В оставшейся правой половине листа 2 намечаются оси координат и из таблицы 3 согласно своему варианту берутся координаты точек А, В, С и D вершин пирамиды и координаты точек Е, К, G и U вершин многоугольника нижнего основания призмы, а также высота h призмы. По этим данным строятся проекции многогранников (пирамида и призма). Призма своим основанием стоит на плоскости уровня, горизонтальные проекции ее вертикальных ребер преобразуются в точки. Грани боковойповерхности призмы представляют собой отсеки горизонтально проецирующих плоскостей.
Линии пересечения многогранников определяются по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника или построением линии пересечения граней многогранника. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линию пересечения многогранников.
 | Рисунок 4 - Пример выполнения листа 2 контрольной работы 1 |
Видимыми являются только те стороны многоугольника пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников. Их следует показать сплошными основными линиями красной пастой, невидимые отрезки пространственной ломаной показать штриховыми линиями красной пастой. Все вспомогательные построения на эпюре сохранить и показать их тонкими линиями синей (зеленой) пастой.
Примечание. Задаче 3 необходимо уделить особое внимание. Все построения на чертеже тщательно проверить. Допущенные ошибки приводят к неправильному решению следующей задачи - задачи 4 (построение развертки многогранников).
Лист 3
Задача 4. Построить развертки пересекающихся многогранников прямой призмы с пирамидой. Показать на развертках линию их пересечения. Пример выполнения листа 3 приведен на рисунке 5.
Чтобы решить данную задачу, чертеж-задание для листа 3 получить, переведя на кальку формата А3 (297 × 420 мм) чертеж пересекающихся, многогранников с листа 2 (задача 3).
Указания к решению задачи 4. Заданные элементы многогранников на кальке показать черной пастой; линии их пересечения обвести красной пастой. Здесь выполняются вспомогательные построения (их обвести синей или зеленой пастой) для определения натуральных величин ребер многогранников.
На листе бумаги ватман формата A3 (297 × 420 мм) строятся развертки многогранников.
Развертка прямой призмы. Для построения развертки прямой призмы поступают следующим образом:
а) проводят горизонтальную прямую;
б) от произвольной точки G этой прямой откладывают отрезки GU, UE, EK, KG, равные длинам сторон основания призмы;
в) из точек G, U, … восставляют перпендикуляры и на них откладывают величины, равные высоте призмы. Полученные точки соединяют прямой. Прямоугольник GG1G1G является разверткой боковой поверхности призмы. Для указания на развертке граней призмы из точек U, Е, К восставляют перпендикуляры;
г) для получения полной развертки поверхности призмы к развертке поверхности пристраивают многоугольники ее оснований.
Для построения на развертке линии пересечения призмы с пирамидой замкнутых ломаных линий 1 2 3 и 4 5 6 7 8 пользуемся вертикальными прямыми. Например, для определения положения точки 1 на развертке поступаем так: на отрезке GU от точки G вправо откладываем отрезок G10, равный отрезку G1 (рис. 4).
Из точки 10 восставляем перпендикуляр к отрезку GU и на нем откладываем аппликату z точки 1. Аналогично строят и находят остальные точки.
Развертка пирамиды. На кальке определяют натуральную величину каждого из ребер пирамиды. Зная натуральные величины ребер пирамиды, строят ее развертку. Определяют последовательно натуральные величины граней пирамиды. На ребрах и на гранях пирамиды (на развертке) определяют вершины пространственной ломаной пересечения пирамиды с призмой.
 | Рисунок 5 - Пример выполнения листа 3 контрольной работы 1 |
Развертки многогранников покрыть бледным тоном цветной акварели, чая или цветного карандаша. Ребра многогранника на развертке обвести черной пастой; линии пересечения многогранников обвести красной, а все вспомогательные построения – синей или зеленой пастой.
Кальку и листы писчей бумаги с планом решения задачи наклеить слева от края листа 3.
Лист 4
Задача 5. Построить в плоскости ABC проекции окружности заданного радиуса R с центром в точке А. Данные для своего варианта взять из таблицы 4. Пример выполнения листа 4 приведен на рисунке 6.
Таблица 4 - Данные к задаче 5 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XA | YA | ZA | XB | YB | ZB | XC | YC | ZC | R |
Указания к решению задачи 5. В левой трети листа формата A3 (297 × 420 мм) намечают оси координат и из таблицы 4 согласно своему варианту берутся координаты точек А, В и С, определяющие плоскость окружности с центром в точке А и заданного радиуса R (рис. 6). На основные плоскости проекций П1 и П2 окружность проецируется в виде эллипсов. В горизонтальной плоскости проекций П1 и П2 большая ось 12 эллипса совпадает с проекцией направления горизонтали плоскости и равна 2R - диаметру окружности; малая ось равна ортогональной проекции того диаметра окружности, который определяет наибольший угол наклона плоскости окружности к плоскости проекций П1.
Построение малой оси может быть выполнено следующим образом. Отметим в горизонтальной плоскости проекций соответственно полухорды 35 и 56 эллипса и окружности. Полухорду 56 вращением вокруг точки 5 совместим с большой осью. В совмещенном положении она равна отрезку 57. Точки 3 и 7 соединяем прямой линией. Из точки 2 проведем прямую, параллельную прямой 37, до пересечения в точке 8 с направлением малой оси эллипса. Отрезок А181 определяет величину милой полуоси эллипса - горизонтальной проекции окружности.
Во фронтальной плоскости проекции П1 и П2 большая ось эллипса 3242 совпадает с направлением фронтали плоскости и равна 2R - диаметру окружности; малая ось равна ортогональной проекции того диаметра окружности, который определяет наибольший угол наклона плоскости окружности к плоскости проекций П1 и П2. Малая ось эллипса на фронтальной плоскости проекций определяется построением, аналогичным выполненному в горизонтальной плоскости проекций. Линии эллипсов и их оси следует обвести красной пастой. Все основные вспомогательные построения показать тонкими сплошными линиями синей (зеленой) пастой.
Задача 6. На трехпроекционном чертеже построить недостающие проекции сквозного отверстия в сфере заданного радиуса R. Вырожденная (фронтальная) проекция сквозного отверстия представлена четырехугольником: координаты проекций точек А, В, С и D вершин четырехугольника - сквозного отверстия на сфере - известны (таблица 5). Пример решения задачи 6 приведен на рисунке 6.
Таблица 5 - Данные к задаче 6 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XO | YO | ZO | XA | YA | ZA | XB | YB | ZB | XC | YC | ZC | XD | YD | ZD | R |
| -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- | -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- | -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- | -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- |
Указания к решению задачи 6. Намечаются оси координат с началом координат в центре незаполненной части листа формата A3. Строятся проекции сферы заданного радиуса R с центром в точке О. Определяются по заданным координатам (таблица 5) проекции точек А, В, С и D (вершин четырехугольника) сквозного отверстия на сфере и строится многоугольник - вырожденная проекция линии сквозного отверстия. Далее задача сводится к определению недостающих проекций точек поверхности сферы.
Вначале определяются характерные точки линии сквозного отверстия: точки на экваторе, главном меридиане, наиболее удаленные и ближайшие точки поверхности сферы к плоскостям проекций. Очертание сферы и вырожденную проекцию сквозного сечения обвести черной пастой, недостающие две проекции отверстия показать красной пастой. Все вспомогательные построения на чертеже сохранить и обвести тонкими линиями синей (зеленой) пастой. В целях наибольшей наглядности чертежа сферу в проекциях можно покрыть бледными тонами акварели или цветного карандаша.
 | Рисунок 6 - Пример выполнения листа 4 контрольной работы 1 |
Лист 5
Задача 7. Построить линию пересечения конуса вращения плоскостью ABC общего положения. Данные для своего варианта взять из таблицы 6. Пример выполнения листа 5 приведен на рисунке 7.
Таблица 6 - Данные к задаче 7 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XK | YK | ZK | XA | YA | ZA | XB | YB | ZB | XC | YC | ZC | R | h |
Указания к решению задачи 7. В левой половине листа формата A3 намечаются оси координат и из таблицы 6 согласно своему варианту берутся величины, которыми задаются поверхность конуса вращения и плоскость ABC. Определяется центр (точка К) окружности радиусом R основания конуса вращения в плоскости уровня. На вертикальной оси, на расстоянии h от плоскости уровня и выше ее, определяется вершина конуса вращения. По координатам точек А, В, С определяется секущая плоскость.
В целях облегчения построения линии сечения строится дополнительный чертеж заданных геометрических образов. Выбирается дополнительная система П3П1 плоскостей проекций с таким расчетом, чтобы секущая плоскость была представлена как проецирующая. Дополнительная плоскость проекций П3 перпендикулярна данной плоскости ABC. Линия сечения (эллипс) проецируется на плоскость проекций П3 в виде отрезка прямой на следе этой плоскости. Имея проекцию эллипса сечения на дополнительной плоскости П3, строят основные ее проекции.
Оси координат, очертания поверхности на основном эпюре и секущую плоскость следует обвести черной пастой; линию сечения в проекциях обвести красной пастой. Все основные и вспомогательные построения на основном и дополнительных эпюрах сохранить и показать тонкими сплошными линиями синей (зеленой) пастой.
Задача 8. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения. Оси поверхностей вращения - взаимно перпендикулярные проецирующие скрещивающиеся прямые. Данные для своего варианта взять из таблицы 7. Пример решения задачи 8 приведен на рисунке 7.
Таблица 7 - Данные к задаче 8 (координаты и размеры, мм)
| № вари- анта | XK | YK | ZK | R | h | XE | YE | ZE | R 1 |
Указания к решению задачи 8. В правой половине листа намечают оси координат и из таблицы 7 берут согласно своему варианту величины, которыми задаются поверхности конуса вращения и цилиндра вращения. Определяют центр (точка К) окружности радиуса R основания конуса вращения в горизонтальной координатной плоскости. На вертикальной оси на расстоянии h от плоскости уровня и выше ее определяют вершину конуса вращения.
Осью цилиндра вращения является фронтально-проецирующая прямая точки Е; основаниями цилиндра являются окружности радиуса R1. Образующие цилиндра имеют длину, равную 3 R1, и делятся пополам фронтальной меридиональной плоскостью конуса вращения.
С помощью вспомогательных секущих плоскостей определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Проводя вспомогательную секущую фронтальную меридиональную плоскость конуса вращения, определяют точки пересечения главного меридиана (очерковых образующих) конуса вращения с параллелью (окружностью) проецирующего цилиндра. Выбирая горизонтальную секущую плоскость, проходящую через ось цилиндра вращения, определяют две точки пересечения очерковых образующих цилиндра с поверхностью конуса.
Высшую и низшую, а также промежуточные точки линии пересечения поверхности находят с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей - плоскостей уровня. По точкам строят линию пересечения поверхности конуса вращения с цилиндром вращения и устанавливают ее видимость в проекциях.
Оси координат и очертания поверхностей вращения следует обвести черной пастой, а линию пересечения поверхностей - красной. Все основные вспомогательные построения на эпюре сохранить и показать тонкими сплошными линиями синей (зеленой) пастой.
 | Рисунок 7 - Пример выполнения листа 5 контрольной работы 2 |
Лист 6
Задача 9. Построить развертки пересекающихся цилиндра вращения с конусом вращения. Показать на развертках линии их пересечения. Чертеж-задание для листа 6 получить, переведя на кальку формата A3 (297 × 420 мм) чертеж пересекающихся поверхностей с листа задачи 8 (рисунок 7). Пример выполнения листа 6 приведен на рисунке 8.
Указания к решению задачи 9. Заданные очерковые линии поверхностей на кальке показать черной пастой линии их пересечения выделить красной пастой. Все вспомогательные построения для определения натуральных величин образующих поверхностей и точек их пересечения обвести синей (зеленой) пастой.
На листе бумаги ватмана формата A3 (297 × 420 мм) строят развертки поверхностей.
Развертка цилиндра вращения. Выбирают горизонтальную прямую линию и на ней спрямляют линию нормального сечения цилиндра вращения - окружность радиуса R1. Строят развертку боковой поверхности цилиндра. На развертке помечают прямолинейные образующие, проходящие через характерные точки пересечения цилиндра с конусом. Эти точки отмечают на соответствующих образующих. Они определяют линию пересечения поверхностей на развертке. Полная развертка цилиндра вращения представляется разверткой его боковой поверхности и основаниями - окружностями радиуса R1..
Развертка конуса вращения. Разверткой поверхности конуса вращения является круговой сектор с углом 
, где R - радиус окружности основания конуса вращения; L - длина образующей.
На развертке конуса вращения строят прямолинейные образующие или параллели, проходящие через характерные точки линий пересечения конуса вращения с цилиндром вращения. Через такие точки проходят линии пересечения поверхностей в преобразовании (на развертке).
Развертки поверхностей цилиндра и конуса вращения покрыть бледным тоном цветной акварели, чая или цветного карандаша. Контур боковой поверхности конуса вращения и его основания (окружности) обвести черной пастой; линии пересечения заданных поверхностей обвести красной, а все вспомогательные построения - синей (зеленой) пастой.
Кальку и листы писчей бумаги с планом решения задачи 9 наклеить с левого края листа 6.
 | Рисунок 8 - Пример выполнения листа 6 контрольной работы 2 |
Лист 7
Задача 10. Построить линию пересечения фронтально-проецирующего цилиндра вращения с поверхностью открытого тора (кольцо). Данные для своего варианта взять из таблицы 8. Пример выполнения листа 7 приведен на рисунке 9.
Таблица 8 - Данные к задаче 10 (координаты и размеры, мм)
| № вари- анта | XK | YK | ZK | R 1 | XE | YE | ZE | r |
Указания к решению задачи 10. В левой половине листа намечают оси координат и из таблицы 8 берут согласно своему варианту величины, которыми задаются поверхности цилиндра и тора (кольца). Осью тора является координатная ось у, радиус (расстояние от центра производящей окружности до оси вращения) осевой линии тора R = 60 мм, а радиус производящей окружности R1. Top ограничен двумя координатными плоскостями хОу и уОz;точка К - центр производящей окружности радиусом R1 в плоскости хОу. Осью цилиндра вращения радиусом r является фронтально-проецирующая прямая, проходящая через точку Е.
Образующие цилиндра имеют длину, равную З r, и делятся пополам фронтальной плоскостью осевой линии тора (окружности радиуса R). Тор имеет три системы круговых сечений. Одна система таких сечений находится в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, другая - в проецирующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.
При построении линии пересечения поверхностей, прежде всего, необходимо определить ее опорные точки - точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой поверхностью. В нашем случае вырожденная фронтальная проекция (окружность) цилиндра является фронтальной проекцией искомой линии пересечения, поскольку одна из пересекающихся поверхностей (цилиндр вращения) - проецирующая. Задача сводится к определению недостающих (горизонтальных) проекций точек линии пересечения заданных поверхностей. Такие точки определяют с помощью секущих фронтальных плоскостей. Среди них должны быть и точки, в которых линия пересечения поверхностей переходит от видимой части к невидимой.
Построив линию пересечения поверхностей и установив ее видимость, а также установив видимость других линий поверхностей, чертеж обводят пастой. Оси координат, очертания поверхностей следует обвести черной пастой; линию пересечения поверхностей - красной; все основные вспомогательные построения обвести синей (зеленой) пастой.
Задача 11. Построить линию пересечения фронтально-проецирующего цилиндра вращения с поверхностью наклонного конуса с круговым основанием. Данные для своего варианта взять из таблицы 9. Пример решения задачи 11 приведен на рисунке 9.
Таблица 9 - Данные к задаче 11 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XK | YK | ZK | XS | YS | ZS | R | XE | YE | ZE | r |
Указания к решению задачи 11. В правой половине листа намечают оси координат и из таблицы 9 берут необходимые данные (согласно своему варианту) для построения поверхностей. Цилиндр вращения является проецирующей поверхностью. Линия пересечения проецирующего цилиндра с конусом уже представлена на чертеже одной (фронтальной) проекции в границах фронтального очерка конуса. Задача сводится к построению недостающей (горизонтальной) проекции такой линии.
Характерные и другие (дополнительные) точки линии пересечения поверхностей определяют с помощью секущих плоскостей-посредников.
Построив линию пересечения поверхностей и определив ее видимость, а также определив видимость других линий поверхностей, чертеж обводят пастой. Оси координат, очертания поверхностей следует обвести черно пастой; линию пересечения поверхностей - красной; все основные вспомогательные построения обвести синей (зеленой) пастой.
 | Рисунок 9 - Пример выполнения листа 7 контрольной работы 2 |
Лист 8
Задача 12. Построить линию пересечения закрытого тора с поверхностью наклонного цилиндра вращения. Заданные поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Данные для своего варианта взять из таблицы 10. Пример выполнения листа 8 приведен на рисунке 10.
Таблица 10 - Данные к задаче 12 (координаты и размеры, мм)
| № вари- анта | XK | YK | ZK | XE | YE | ZE | R | б |
Указания к решению задачи 12. В левой половине листа формата A3 намечают оси координат и из таблицы 10 согласно своему варианту берут заданные величины, которыми определяются поверхности тора и цилиндра вращения. Определяют по координатам положение точки Е, т. е. точки пересечения вертикальной оси тора с наклонной осью цилиндра вращения радиуса r = 2R/3.
Главным меридианом поверхности тора является замкнутая линия, состоящая из двух пересекающихся на оси вращения дуг окружностей радиуса 2R и отрезка прямой - проекции экваториальной параллели, представляющей собой окружность с центром в точке К и радиусом R, в плоскости уровня хОу.
Ось цилиндра вращения пересекается с осью поверхности тора в точке Е под углом б. Основание цилиндр вращения касается профильной координатной плоскости yOz.
Точки пересечения фронтальных меридианов заданных поверхностей вращения принадлежат искомой линии их пересечения. Они определяются на чертеже без каких-либо дополнительных построений. Другие точки линии пересечения можно построить используя (как вспомогательные секущие) концентрические сферические посредники.
Из точки пересечения осей как из центра проводится сфера произвольного радиуса. Она пересекает обе поверхности по окружностям. Фронтальные поверхности окружностей изображаются отрезками прямых линий, которые пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, можно получить последовательный ряд точек линии пересечения.
Определив достаточное число точек для построения линии пересечения поверхностей, и определив ее видимость в проекциях, чертеж обводят пастой. Оси координат и линии, задающие поверхности, следует обвести черной пастой; линию пересечения поверхностей выделить красным цветом, а все основные вспомогательные построения обвести синей (зеленой) пастой.
Задача 13. Построить линию пересечения конуса с поверхностью открытого тора (кольца). Данные для своего варианта взять из таблицы 11. Пример решения задачи 13 приведен на рисунке 10.
Таблица 11 - Данные к задаче 13 (координаты и размеры, мм)
| № варианта | XK | YK | ZK | R | h | r |
Указания к решению задачи 13. В правой половине листа намечают оси координат и из таблицы 11 согласно своему варианту берут величины, которыми задаются поверхности конуса вращения и тора. Определяют по координатам точку К в плоскости уровня хОу как вершину конуса вращения; она же являет и центром производящей окружности радиуса r поверхности открытого тора. Ось конуса вращении - вертикальная прямая, проходящая через точку К. Высота конуса вращения h, а радиус основания R. Ось поверхности открытого тора совпадает с осью координат у. Тор ограничен координатными плоскостями хОу и yOz. Заданные поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии. На каждой из заданных поверхностей имеются круговые сечения. Кольцо имеет три системы круговых сечений. Одна система таких сечений находится в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, другая - в проецирующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.
При построении линии пересечения поверхностей, прежде всего, необходимо определить ее опорные точки, т. е. точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения поверхности кольца провести проецирующую плоскость. Она пересекает кольцо по окружности. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восставленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости.
 | Рисунок 10 - Пример выполнения листа 8 контрольной работы 2 |
Чтобы конус вращения пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, необходимо, чтобы центр такой сферы находился на оси конуса вращения. Точка пересечения перпендикуляра с осью конуса вращения является центром вспомогательной секущей сферы соответствующего радиуса. Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых - отрезки прямых. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения.
Так могут быть построены фронтальные проекции точек линии пересечения поверхностей; горизонтальные проекции строят, пользуясь параллелями заданных поверхностей вращения.
Определив видимость линий поверхностей в проекциях, чертеж обводят пастой. Оси координат, очертания поверхностей обводят черной пастой, линию пересечения поверхностей - красной, а все вспомогательные линии построений - синей (зеленой) пастой.
К теме 1. Введение. Центральные и параллельные проекции. 1. Какие изображения называют рисунками, какие чертежами? 2. Какие известны вам основные методы проецирования геометрических форм на плоскости? 3. Сформулируйте основные свойства параллельного проецирования. 4. Что называют несобственными элементами пространства? 5. Что называют обратимостью чертежа? 6. Сформулируйте и покажите на чертежах особенности методов ортогональных и аксонометрических проекций, проекций с числовыми отметками и Федоровских проекций. 7. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат? 8. Укажите основные свойства чертежей геометрических образов. 9. Укажите особенности осных и безосных чертежей.
К теме 2. Точка. Прямая. Плоскость на эпюре Монжа. 1. Постройте проекции точек, расположенных в различных углах пространства. 2. Покажите построения чертежей точек, расположенных в различных октантах, в трех проекциях. 3. Что называют постоянной прямой чертежа? Как с помощью постоянной прямой чертежа построить третью проекцию точки? 4. Постройте чертежи отрезков прямых линий, расположенных в различных углах пространства. Укажите частные положения отрезков прямых линий. 5. Какие прямые называют линиями уровня? Проецирующими прямыми линиями? 6. Приведите определение внутреннего и внешнего деления отрезка прямой. 7. Что называют следом прямой линии? Постройте следы прямых частного положения. 8. Укажите правило построения следов прямой линии. 9. Для какой прямой на чертеже следы будут: а) совпадать; б) равноудалены от осей проекций; в) лежать на оси проекций? 10. Как изображаются на чертеже пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые линии? 11. Могут ли скрещивающиеся прямые линии иметь параллельные проекции на плоскостях П1 и П2? 12. Покажите способы задания плоскости общего положения и проецирующих плоскостей. 13. Какстроят прямые линии и точки в плоскости? 14. Изложите особенности проецирующих плоскостей. 15. Покажите способы построения горизонтали, фронтали и линии наибольшего наклона плоскостей общего положения и проецирующих плоскостей. 16. Какопределяют в треугольнике центр его тяжести, центры описанной и вписанной окружностей?
К теме 3. Позиционные и метрические задачи. 1. Покажите на примерах, как определяют точки пересечения проецирующих плоскостей прямыми линиями, линии пересечения проецирующих плоскостей плоскостями общего положения и проецирующими плоскостями. 2. Изобразите схему и укажите последовательность решения задачи на построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения. 3. Как определяют видимость элементов геометрических образов относительно плоскости проекций? 4. Изобразите схему и укажите последовательность построения линии пересечения двух плоскостей. 5. Изобразите схему и приведите примеры построений прямых линий, параллельных и перпендикулярных плоскостям. 6. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей. 7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых общего положения. Изобразите схему. 8. Как определяются на чертеже расстояния от точки до проецирующей плоскости и плоскости общего положения? 9. Как определяются на чертеже расстояния от точки до прямой частного и общего положения?
К теме 4. Способы преобразования эпюра Монжа. 1. В чем состоит принцип преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций? 2. Что определяет направление новой плоскости проекций при переводе плоскости общего положения в проецирующую плоскость? 3. Какова схема решения задачи по определению углов наклона плоскости к плоскостям проекций способом замены плоскостей проекций? 4. Какова схема решения задачи по определению натуральной величины отсека произвольно расположенной плоскости способом замены плоскостей проекций? 5. В чем состоит принцип преобразования чертежа способом вращения вокруг проецирующих прямых? 6. Какую прямую принимают за ось вращения при переводе отсека плоскости из общего положения во фронтально-проецирующую плоскость? 7. Какую прямую принимают за ось вращения при переводе отсека плоскости из общего положения в горизонтально проецирующую плоскость? 8. Можно ли считать плоскопараллельное перемещение вращением вокруг невыявленных осей (проецирующих прямых) и почему? 9. Определите ось вращения фигуры при плоскопараллельном перемещении. 10. Укажите последовательность приемов определения натуральной величины отсека плоскости способом плоскопараллельного перемещения. 11. Какова последовательность приемов определения натуральной величины отсека плоскости способом вращения вокруг прямых, параллельных плоскости проекций? 12. Приведите технические примеры решения задач способом вращения вокруг осей общего положения.
К теме 5. Многогранники. 1. Какие многогранники называют выпуклыми и выпукло-вогнутыми? 2. Какие многогранники называют правильными? 3. Назовите правильные выпуклые многогранники. 4. Что называют числом Эйлера многогранника? 5. Назовите правильные звездчатые многогранники. 6. Что называют точечным базисом многогранника? 7. Изложите сущность способов построения линии пересечения многогранников. 8. Что называют разверткой многогранной поверхности?
К теме 6. Кривые линии. 1. Какие кривые линии называют алгебраическими и какие трансцендентными? 2. Что называют порядком алгебраической кривой? 3. Что называют кривизной плоской кривой и как ее определяют графически? 4. Приведите определение эволюты и эвольвенты плоской кривой. 5. Назовите основные свойства эволют и эвольвент. 6. Какие кривые называют монотонными? 7. Расскажите об иррегулярных вершинах кривых линий. 8. Какие кривые называют овалами? Покажите примеры овалов. 9. Какие кривые называют соприкасающимися? 10. Какое преобразование плоских кривых называют конхоидальным, инверсией, конформным? 11. Какие кривые называют кривыми второго порядка? Расскажите о каждой из них. 12. Какие кривые называют эквидистантными? 13. Какие пространственные кривые называют гелисами и как их задают на эпюре Монжа? 14. Как определяют на чертеже направление (ход) цилиндрической винтовой линии? 15. Расскажите о конических винтовых линиях. 16. Расскажите о кривых линиях на сфере.
К теме 7. Поверхности. Образование и задание поверхностей. 1. Каковы основные способы задания поверхностей? 2. Что называют каркасом поверхности? 3. Что называют определителем поверхности? 4. Назовите основные виды перемещений производящей линии. 5. Как образуются и задаются на чертеже поверхности переноса прямолинейного направления, поверхности вращения, винтовые поверхности? 6. Какие поверхности вращения называют поверхностями второго порядка? 7. Укажите основные свойства поверхностей вращения. 8. Какие винтовые поверхности называют геликоидами? Укажите их виды. 9. Что представляет собой эксцентриситет геликоида? 10. Какую винтовую поверхность называют конволютным геликоидом, тором-геликоидом, винтовым столбом, нормальным геликоидальным круглым цилиндром, винтовым тором? 11. Какие поверхности называют тором? 12. Назовите известные вам поверхности Каталана. 13. Укажите возможные примеры практического применения поверхностей Каталана. 14. Какую поверхность называют коноидом Плюккера? 15. Что представляет собой линия сужения (стрикционная линия) поверхности Каталана? 16. Какие косые поверхности называют линейчатыми поверхностями с направляющей плоскостью? Какова схема построения положений производящей линии таких поверхностей? 17. Какие поверхности называют косыми цилиндрами с тремя направляющими? 18. Какую поверхность называют косым переходом? Где она применяется? 19. Приведите определение поверхности второго порядка общего вида.
К теме 8. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией. 1. Укажите общую схему определения точек линии пересечения поверхности плоскостью. 2. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют главными (опорными)? 3. Укажите последовательность графических построений при определении точек пересечения прямой с поверхностью. 4. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получаются окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые. 5. Укажите последовательность графических построений при определении линии пересечения плоскостями поверхностей второго порядка общего вида.
К теме 9. Взаимное пересечение поверхностей. 1. Изобразите общую схему построения линий пересечения поверхностей. 2. Изложите принципы построения точек пересечения кривых линий с поверхностями. 3. Назовите основные способы построения линий пересечения поверхностей. 4. Опишите способы секущих плоскостей и сферических посредников при определении линии пересечения поверхностей. 5. Какое пересечение поверхностей называют полным и неполным? 6. Отметьте преимущество решения задач на построение линии пересечения поверхностей проецирующими цилиндрами и проецирующими призмами. 7. Покажите схемы построения линий пересечения двух конических (с собственной и несобственной вершинами). 8. В какой последовательности соединяются точки искомой линии пересечения поверхностей и как определяется ее видимость в проекциях? 9. Какие точки линии пересечения поверхностей называют главными (опорными)? 10. Изложите принципы построения лини пересечения поверхностей вращения винтовых поверхностей между собой. 11. Назовите основные теоремы, применяемые при построении линии пересечения поверхностей второго порядка.
К теме 10. Плоскости и поверхности, касательные к поверхности. 1. Какую плоскость называют касательной к поверхности в данной точке? 2. Что называют нормалью поверхности в данной точке? 3. Какие точки поверхности называют эллиптическими, параболическими, гиперболическими? 4. Приведите примеры поверхностей, имеющих эллиптически параболические или гиперболические точки. 5. На какой поверхности имеются и эллиптические, и параболические, и гиперболические точки? 6. Докажите, что плоскость, касательная кповерхности вращения в точке, расположенной на главном меридиане, является проецирующей.
К теме 11. Развертки поверхностей. 1. Что называют разверткой поверхностей? 2. Какие поверхности называют развертывающимися, а какие неразвертывающимися? 3. Укажете основные свойства разверток. 4. Приведите определение сферической индикатрисы образующих тора. 5. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра с помощью сферической индикатрисы их образующих. 6. Что называют аппроксимацией поверхности?
К теме 12. Аксонометрические проекции. 1. Какие проекции называют аксонометрическими? Назовите их виды. 2. Что называют коэффициентом (показателем) искажения? 3. Сформулируйте основную теорему аксонометрии - теорему Польке. 4. Что представляет собой треугольник следов? 5. Укажите коэффициенты искажений по направлениям осей в прямоугольной изометрии, в диметрии. 6. Укажите направления и величины осей эллипсов как изометрических и диметрических проекций окружностей, вписанных в квадраты граней куба, ребра которого параллельны координатным осям.
