Тема 4: Абсолютные, относительные, средние величины

Под статистическим показателем понимается обобщающая количественная характеристика изучаемого объекта или его свойства.

Изучая массовые общественные явления, статистика в своих выводах опирается на числовые данные, полученные в конкретных условиях места и времени.

Абсолютная величина отражает уровень развития явления (его размер или объем) и являются основой всех форм учета и приемов количественного анализа.

В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах.

Абсолютные величины могут иметь натуральные, трудовые, демографические и стоимостные единицы измерения.

К абсолютным величинам относят условно-натуральныевеличины, для получения которых определяют коэффициенты пересчета (перевода) натуральных единиц в условно-натуральные. Для чего один из видов продукции (по весу, размеру или другим характеристикам) принимают равным единице и к весу, размеру и т.п. данной продукции соотносят аналогичные характеристики остальных видов продукции. Затем на полученные коэффициенты умножают количество каждого вида продукции в натуральном выражении и получают их количество в условно-натуральных единицах измерения.

Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин (как правило).

Знаменатель отношения, т.е. та величина, с которой сравнивают другую величину, называется основанием или базой сравнения. В зависимости от базы сравнения относительные величины могут быть выражены в форме:

- коэффициентов, если база сравнения принята за 1;

- процентов, если база сравнения принята за 100;

- промилле (‰) если база сравнения принята за 1000; и т.д.

Основное условие правильного расчета относительной величины – сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями.

По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин:

Относительная величина динамики характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени и может быть выражена коэффициентом (индексом) роста, темпом роста или темпом прироста.

Коэффициент (индекс) роста (k_р(i_р)) получается в результате деления уровня показателя в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент, и рассчитывается, например, по формуле:

,                   (1.3)

где Ф₁ и Ф₀ – соответственно фактические уровни показателя в текущем и предыдущем периодах.

Темп роста (Т_р) – это коэффициент роста, выраженный в процентах, рассчитывается по формуле:

Т_р= k_р∙ 100,                      (1.4)

 

Темп прироста (Т_пр) - разность между величиной темпа роста и 100 %, рассчитывается по формуле:

Т_пр= Т_пр- 100,                        (1.5)

Относительная величина планового задания характеризует изменение планового уровня показателя на предстоящий период по сравнению с фактически сложившимся уровнем в предыдущем периоде и может быть представлена коэффициентом (индексом) планового роста, плановым темпом роста и плановым темпом прироста.

Коэффициент (индекс) планового роста (k_р.пл.з(i_р.пл.з)) представляет собой отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предыдущем периоде и рассчитывается по формуле:

,  (1.6)

где П₁ –уровень показателя, запланированный на текущий (предыдущий) период.

Плановый темп роста (Т_р.пл.з) – это коэффициент планового роста, выраженный в процентах, рассчитывается по формуле:        

Т_р.пл.з = k_р.пл.з∙ 100, (1.7)

Плановый темп прироста (Т_пр.пл.з)- разность между величиной планового темпа роста и 100%, рассчитывается по формуле:  

Т_пр.пл.з = Т_р.пл.з – 100,                             (1.8)

Относительная величина выполнения задания характеризует степень выполнения задания (плана) и может быть выражена коэффициентом (индексом) выполнения задания, процентом выполнения плана и процентом перевыполнения задания.

Коэффициент (индекс) выполнения планового задания (k_{вып.пл.з}(i_{вып.пл.з})), представляет собой отношение уровня показателя, фактически достигнутого в текущем периоде, к запланированному и рассчитывается по формуле:

,                       (1.9)

Процент выполнения планового задания (%_{вып.пл.з}) – это коэффициентом выполнения планового задания, выраженный в процентах, рассчитывается по формуле:

%_{вып.пл.з} = k_{вып.пл.з}∙ 100,                        (1.10)

Процент перевыполнения планового задания (%_{перевып.пл.з}) рассчитывается по формуле:

%_{перевып.пл.з} = %_{вып.пл.з} – 100,  (1.11)

Относительные величины динамики, планового задания и выполнения плана связаны соотношением, представленным формулой:

k_р = k_р.пл.з∙k_{вып.пл.з}.,                       (1.12)

Представленная модель позволяет рассчитать неизвестное значение одного из трех приведенных в формуле 1.12  показателей при наличии данных о значения двух других.

Относительная величина структуры (d) характеризует долю (удельный вес) составного элемента в общем итоге совокупности и рассчитывается, в случае представления в форме процентного содержания, по формуле:

,                                        (1.13)

где У и ∑ У – соответственно уровень части совокупности и суммарный уровень совокупности.

Совокупность относительных величин структуры показывает строение изучаемого явления.

Относительная величина координации (ОВК) показывает, во сколько раз одна часть совокупности больше другой или сколько единиц одной части приходится на 1,10, 100,1000, … единиц другой части и рассчитывается как отношение частей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. ОВК могут рассчитываться как по абсолютным показателям, так и по показателям структуры.

Относительная величина сравнения (ОВС) характеризует сравнительные размеры одноименных величин (одних и тех же показателей), относящихся к одному и тому же периоду или моменту времени, но к различным объектам или территориям и рассчитывается как отношение этих величин.

Относительная величина интенсивности характеризует степень распределения или развития данного явления в той или иной среде и представляет собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления. Она показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности (Например, средняя заработная плата работников предприятия.)

В экономической практике роль средних величин значительна. Они используются в экономическом анализе, планировании и прогнозировании, менеджменте и маркетинге.

К структурным средним величинам относятся мода и медиана.

Степенные средние величины в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет общий вид:

,                                  (1.14)

где х_i – значение осредняемого признака; m – показатель степени средней; n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

                          ,                              (1.15)

где х_i – значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором оно изменяется;

m – показатель степени средней;

f_i– частота (вес), показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

Веса в формулах средних показывают повторяемость данного значения признака.

Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака единиц совокупности должен быть сохранен неизменным. Необходимо, чтобы все этапы расчета средней величины имели реальное содержательное обоснование.

Простая средняя гармоническая величина рассчитывается по формуле:

,                                      (1.16)

Взвешенная средняя гармоническая величина рассчитывается по формуле:

,                                               (1.17)

где F_i = x_i ∙ f_i.

Простая средняя геометрическая величина рассчитывается по формуле:

 

,                                (1.18)

       Взвешенная средняя геометрическая величина рассчитывается по формуле:

 

,                         (1.19)

 

Кроме того, геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.

Простая средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:

,                                                (1.20)

Взвешенная средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:

,                                            (1.21)

Средней средних арифметических величин является средняя хронологическая величина:

,                                (1.22)

Простая средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле:

,                                          (1.23)

 

Взвешенная средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле:

,                                         (1.24)

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных величин, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

При расчете средних значений вторичных (качественных) признаков, соответствующих относительным величинам интенсивности, используется их логическая формула, которая в зависимости от имеющих исходных данных может принимать вид средней арифметической или средней гармонической взвешенной величины.

Правила выбора формы средней величины качественного признака:

1) если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной;

2) если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя должна вычисляться по формуле средней гармонической взвешенной;

3) в том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя величина вычисляется непосредственно по этой формуле.

Условия применения средних величин:

1. К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

2. Формула средней геометрической используется, чаще всего, при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики, например, темпам роста.

3. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

4. Средняя хронологическая величина используется в том случае, если уровни, по которым нужно исчислить среднюю величину, заданы на определенный момент (период) времени.

5. Средняя квадратическая величина применяется, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.