Решение типовой задачи

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x₂ (%).

 

Номер предприятия	y	x1	x2	Номер предприятия	у	х1	х2
1	7,0	3,9	10,0	11	9,0	6,0	21,0
2	7,0	3,9	14,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	16,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	3,8	17,0	15	12,0	8,0	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	5,3	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	20,0	20	14,0	9,0	36,0

 

 

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации

5. С помощью t -критерия оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

6. С помощью частных F -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x₁ после x₂ и фактора x₂ после x₁.

7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

 

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

Номер предприятия	y	x1	x2	ух1	ух2	х1х2
1	7,0	3,9	10,0	27,3	70	39	15,21	100,0	49,0
2	7,0	3,9	14,0	27,3	98	54,6	15,21	196	49
3	7,0	3,7	15,0	25,9	105	55,5	13,69	225	49
4	7,0	4,0	16,0	28	112	64	16,00	256	49
5	7,0	3,8	17,0	26,6	119	64,6	14,44	289	49
6	7,0	4,8	19,0	33,6	133	91,2	23,04	361	49
7	8,0	5,4	19,0	43,2	152	102,6	29,16	361	64
8	8,0	4,4	20,0	35,2	160	88	19,36	400	64
9	8,0	5,3	20,0	42,4	160	106	28,09	400	64
10	10,0	6,8	20,0	68	200	136	46,24	400	100
11	9,0	6,0	21,0	54	189	126	36,00	441	81
12	11,0	6,4	22,0	70,4	242	140,8	40,96	484	121
13	9,0	6,8	22,0	61,2	198	149,6	46,24	484	81
14	11,0	7,2	25,0	79,2	275	180	51,84	625	121
15	12,0	8,0	28,0	96	336	224	64,00	784	144
16	12,0	8,2	29,0	98,4	348	237,8	67,24	841	144
17	12,0	8,1	30,0	97,2	360	243	65,61	900	144
18	12,0	8,5	31,0	102	372	263,5	72,25	961	144
19	14,0	9,6	32,0	134,4	448	307,2	92,16	1024	196
20	14,0	9,0	36,0	126	504	324	81,00	1296	196
Сумма	192,0	123,8	446,0	1276,3	4581,0	2997,4	837,7	10828,0	1958,0
Ср. значение	9,6	6,19	22,3	63,82	229,1	149,9	41,887	541,4	97,9

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

 

 

 

 

1. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

 

 

необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a, b₁, b₂ (2.2) либо воспользоваться готовыми формулами (2.3)

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

 

 

 

 

Находим по формулам (2.3) коэффициенты чистой регрессии и параметр а

 

 

 

 

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

 

 

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,946 тыс. руб., а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,086 тыс. руб.

После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоретических значений результативного признака, остаточной дисперсии и средней ошибки аппроксимации

Номер предприятия	y	x1	X2				Ai, %
1	7,0	3,9	10,0	6,380	0,620	0,384	8,851
2	7,0	3,9	14,0	6,723	0,277	0,077	3,960
3	7,0	3,7	15,0	6,619	0,381	0,145	5,440
4	7,0	4,0	16,0	6,989	0,011	0,000	0,163
5	7,0	3,8	17,0	6,885	0,115	0,013	1,643
6	7,0	4,8	19,0	8,002	-1,002	1,004	14,317
7	8,0	5,4	19,0	8,570	-0,570	0,325	7,123
8	8,0	4,4	20,0	7,709	0,291	0,084	3,633
9	8,0	5,3	20,0	8,561	-0,561	0,314	7,010
10	10,0	6,8	20,0	9,980	0,020	0,000	0,202
11	9,0	6,0	21,0	9,309	-0,309	0,095	3,429
12	11,0	6,4	22,0	9,773	1,227	1,507	11,158
13	9,0	6,8	22,0	10,151	-1,151	1,325	12,789
14	11,0	7,2	25,0	10,786	0,214	0,046	1,944
15	12,0	8,0	28,0	11,800	0,200	0,040	1,668
16	12,0	8,2	29,0	12,075	-0,075	0,006	0,622
17	12,0	8,1	30,0	12,066	-0,066	0,004	0,547
18	12,0	8,5	31,0	12,530	-0,530	0,280	4,413
19	14,0	9,6	32,0	13,656	0,344	0,118	2,459
20	14,0	9,0	36,0	13,431	0,569	0,324	4,067
Сумма	192,000	123,800	446,000	191,992	0,008	6,093	95,437
Среднее значение	9,600	6,190	22,300	9,600	-	0,305	4,772

 

Остаточная дисперсия

 

Средняя ошибка аппроксимации:

 

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Коэффициенты β₁ и β₂ стандартизированного уравнения регрессии , находятся по формуле 2.6.

 

 

 

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

 

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности

Вычисляем:

 

 

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора x₁, чем фактора x₂.

2. Коэффициент парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x₁ и x₂ явно коллинеарны, т.к. r=0,943>0,7) При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

 

 

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицы парных коэффициентов корреляции

где

 

- Определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

 

 

- Определитель матрицы межфакторной корреляции.

Находим:

 

 

 

Коэффициент множественной корреляции:

 

Аналогичный результат получим при использовании формул (2,7) и (2,9)

 

 

Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

 

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 94%) детерминированность результата y в модели факторами x₁ и х₂

 

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает F-критерий Фишера:

 

 

В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:

 

 

Получили, что  (при n=20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи

 

5.  Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формулам (2.18) и (2.19).

 

 

 

Фактические значения t -критерия Стьюдента:

 

Табличное значение критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k =17 составит t_табл (а =0,05; k= 17)=2,11. Таким образом, признается статистическая значимость параметра b₁ , т.к. , и случайная природа формирования параметра b₂, т.к.

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

 

 

 

6.  С помощью частных F-критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора х₁ после х₂ и фактора х₂ после х₁ при помощи формул (2.15).

 

 

Найдем  и

 

 

 

Имеем:

 

 

Получили, что  Следовательно, включение в модели фактора х₂ после того, как в модель включен фактор х₁ статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака х₂ оказывается незначительным, несущественным; фактор х₂ включать в уравнение после фактора х₁ не следует.

       Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения x₁ после x₂, то результат расчета частного F -критерия для x₁ будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта a = 0,05 (5%). Следовательно, значение частного F -критерия для дополнительно включенного фактора x₁ не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора x₁ является существенным. Фактор x₁ должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора x₂.

       7. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами х₁ и х₂ с содержит неинформативный фактор х₂. Если исключить фактор х₂, то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

 

 

Найдем его параметры:

 

 

 

Таким образом,