Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Мы рассчитывали коэффициент корреляции между двумя количественными переменными. Однако, на практике встречаются случаи, когда объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками. Под качественным признаком мы будем понимать признак, который нельзя измерить точно, но он позволяет сравнить объекты между собой, а значит расположить их в порядке возрастания или убывания качества(например, баллы по ЕГЭ, оценка за экзамен, качества жилищных условий).

В этом случае, объекты анализа ранжируют по степени выраженности измеряемых переменных, каждому объекту присваивается определённый номер называемый рангом.

Ранговая корреляция весьма полезна для практических целей, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному признаку, что удешевляет и ускоряет контроль. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле р=1- 6*значок суммы(ri-Si) ²/n³-n

Ri,Si –ранги признаков х и у.

n-число объектов наблюдения.

Если ранги всех объектов равны межу собой, т.е ri=Si, при i=1,2,3., то р=1 связь будет тесная между признаками. При полной обратной связи, когда ранги объектов расположены в обратном порядке, р=-1. Во всех остальных случаях Модуль р<1. Если в выборке возникает ситуация, что между объектами наблюдается равнозначность по качеству, то такие объекты называются связанные по каждому объекту приписывается средний ранг. Например, если 4 объекта оказались равнозначными и нельяз определить какой из рангов им присвоить, то каждому присваивается ранг равен 4+5+6+7/4=5,5.

Нелинейная регрессия. Линеаризация моделей.

Не всегда соотношение между экономическими явлениями можно описать линейноё функцией в этом случае можно использовать нелинейные модели. Так, например, нелинейными моделями описывается спрос на мясо, функция спроса на цены.

Существует два подхода для оценки параметров нелинейных моделей:

1) Основан на линеаризации функции, т.е подбирается математическое преобразование, которое  позволяет нелинейную функцию свести к линейной.

2) Применяется в тех случаях, когда линиаризировать не удаётся, в этом случае, применяются методы нелинейной оптимизации.

При работе с нелинейными моделями отдаётся предпочтение, которые могут быть линианизированными, к таким функциям относятся степенная, показательная, гиперболическая.

Рассмотрим эти функции.

  Степенная модель

y=a*x ^b прологарифмируем обе части.

Ln y=ln(a*x ^b)

Ln y=ln a+ln x ^b

Ln y=ln a+blnx

Y=A+b(X)

Ln a=A

a=e ^A

Показательная модель

y=a*b ^x для линеаризации дано модели прологарифмируем обе части равенства.

ln y=lna* b ^x

ln y=ln a+x*ln b

Y=A+Bx

Коэффициенты А,В могут быть рассчитаны по тем же формулам, что для линейной функции, только в качестве исходных данных берём (х,У) или (х, ln y)

Для нахождения а, b используют формулы

a=e ^A b=e ^B

Гиперболическая регрессионная модель

y=а+b/x

Для линеаризации данной модели сделаем замену 1/х заменим на Х.

у=а+b*X

Для нахождения коэффициентов а,b используем формулы для линейно функции, в качестве исходных данных берём (Х,у) или (1/х,у)

Корреляция для нелинейной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.

Тесноту связи изучаемых явлений в их нелинейной форме можно оценивать с помощью показателя (индекса корреляции).

(ро) Р=Корень квадратный 1- (значок суммы((уi)-у(ср.)) ^2;/ значок суммы((уi)-у(ср.)) ^2;)

Замечание: по индексу корреляции нельзя судить о направлении связи (прямая или обратная).

Коэффициент детерминации для нелинейных моделей рассчитывается по формуле

R²=тоже самое, но без корня.

Чем ближе R² к 1, тем меньше влияние прочих факторов, которые не входят в модель.

Для оценки относительной величины отклонения фактических значений от расчётных используют коэффициент, который называется средняя ошибка аппроксимации.

А=1/n*значок суммы │yi-yi(с кр.)/yi │*100%

Допустимой считается ошибка не превышающая 12 %.

Коэффициент эластичности.

Одним из важных показателей, который имеет точное экономическое значение является коэффициент эластичности.

Э=y’(x)*x/y

Средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

Э(ср.)= y’(x(ср.))*x(ср.)/y(хср)

 Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак, если фактор х увеличить на 1 %.

1. у=a+bx – линейная функция

у’=b, э=b*x/a+bx

2. y=a*x ^b –степенная функция.

у’=а*b*x ^b-1

э=a*b*x ^b-1*x/a* x ^b =b

3.y=a*b ^{x –} показательная функция

у’=a* b ^x*ln b Э=ln b*x

4. y=а+b/x-гиперболическая функция

y’=-b/x²

Э=-b/ax+b

Коэффициент эластичности функций зависит от переменной х. А для степенной функции коэффициент эластичности совпадает с коэффициентом b, не зависит от х.

Иногда коэффициент эластичности рассчитывать бессмысленно, это не имеет смысла в тех случаях, когда, какой-либо показатель, его изменение нельзя измерить в процентах. Например, стаж работы, число дней просрочки кредита и т.д.