Тема 2: парная регрессия

1 2 3 4 5 6 7

План занятий

1. Спецификация модели парной регрессии.

2. Оценка существенности параметров парной регрессии.

3. Прогнозирование по линейному уравнению регрессии.

4. Средняя ошибка аппроксимации.

5. Нелинейная регрессия и корреляция.

Задание 1. По исходным данным, соответствующим Вашему варианту задания (стр. 13), требуется:

1. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения вида .

2. Провести статистический и содержательный анализ качества построенного уравнения.

Задание выполнить средствами табличного процессора MS Excel в соответствии с приведенным ниже примером выполнения задания.

Методические указания по выполнению задания

1. Результаты выполнения задания оформить по образцу (рис. 1).

2. Результаты выполнения задания занести в отчет, который должен содержать:

а) исходные данные для выполнения задания;

б) систему нормальных уравнений;

в) построенное уравнение прогноза;

г) значения коэффициентов линейной корреляции и детерминации;

д) среднюю ошибку аппроксимации;

е) расчетные и критические значения t- и F-статистик;

ж) соответствующие всем полученным значениям выводы.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1		1	2	3	4	5	6	7		Среднее	s^2	s
2	y	68,8	61,2	59,9	56,7	55	54,3	49,3	405,2	57,89	32,92	5,74
3	x	45,1	59	57,2	61,8	58,8	47,2	55,2	384,3	54,9	34,33	5,86
4	yx	3102,88	3610,8	3426,28	3504,06	3234	2562,96	2721,36	22162,34	3166,05	-	-
5	x²	2034,01	3481	3271,84	3819,24	3457,44	2227,84	3047,04	21338,41	3048,34	-	-
6	y²	4733,44	3745,44	3588,01	3214,89	3025	2948,49	2430,49	23685,76	3383,68	-	-
7		61,28	56,47	57,09	55,499	56,54	60,55	57,78	405,2	-	-	-
8		7,52	4,73	2,81	1,20	-1,54	-6,25	-8,48	0,0	-	-	-
9	()²	56,61	22,39	7,89	1,44	2,36	39,05	71,94	201,71	-	-	-
10		0,109	0,077	0,047	0,021	0,028	0,115	0,172	0,569	-	-	-
11		96,04	16,81	5,29	47,61	15,21	59,29	0,09	240,34	-	-	-
12	A_i	10,9	7,7	4,7	2,1	2,8	11,5	17,2	56,9	8,14	-	-
13
14		Матрицы		Определители	Коэффициенты:			Ошибка аппроксимации			t расчетное
15					а ₀=	76,87708		А =	8,140901		а 0=	3,398608
16		7	384,3	D	а ₁=	-0,34593					а 1=	0,844345
17		384,3	21338,41	1682,38				Дисперсии:			r xy=	0,844345
18		405,2	384,3	D₀	Коэффициент корреляции			а 0=	511,6719
19		22162,34	21338,41	129336,5	r _xy=	-0,35326		а 1=	0,167852		t крит	2,571
20		7	405,2	D₁				r xy=	0,175042
21		384,3	22162,34	-581,98	Коэффициент детерминации						F факт	0,714
22					R ^2=	0,124791					F крит	6,608

Рис. 1

Пример выполнения задания

По семи районам некоторого региона за год зарегистрированы значения двух показателей:

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % (y)	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб. (x)
1	68,8	45,1
2	61,2	59,0
3	59,9	57,2
4	56,7	61,8
5	55,0	58,8
6	54,3	47,2
7	49,3	55,2

1. Для определения характеристики зависимости y от x рассчитать коэффициенты линейного уравнения.

2. Провести статистический и содержательный анализ качества построенного уравнения.

Решение

1. Для расчета коэффициентов уравнения линейной регрессии решим систему из двух нормальных уравнений относительно переменных a₀ и a₁:

Для вычисления оценок коэффициентов a₀ и a₁ и проведения дальнейшего анализа построенного уравнения необходимо сформировать таблицу (рис.1, выделена серым цветом), занести в нее исходные данные (в таблице они выделены жирным шрифтом). Полученные в результате расчетов значения внесены в таблицу обычным шрифтом. Значения клеток, помеченных знаком «–», рассчитывать не требуется.

Для выполнения расчетов (например, вычисления значений выражений yx, х² и т. п.) требуется установить курсор в первую клетку, соответствующую вычисляемому выражению, набрать знак равенства («=») и ввести необходимую для расчета формулу. В качестве значений переменных, входящих в формулу, указываются адреса клеток, содержащих эти значения (адрес клетки можно ввести, выделив соответствующую клетку курсором). Ввести эту же формулу в клетки, соответствующие остальным значениям переменных, входящих в выражение, можно, выделив клетку с формулой, и клетки, которые необходимо заполнить. После выделения использовать режимы меню ПРАВКА − ЗАПОЛНИТЬ − ВПРАВО.

Например, для расчета значений произведений yx необходимо установить курсор в клетку В4, набрать выражение =В2*В3 (адреса клеток В2 и В3 можно не набирать, а указать, выделив клетки курсором), нажать клавишу «ENTER», выделить клетки В4:Н4 и указать режимы ПРАВКА − ЗАПОЛНИТЬ − ВПРАВО.

Для расчета значений вида , , , и т. п. необходимо установить курсор на первое из суммируемых значений, нажав левую клавишу мыши, выделить участвующие в сложении клетки и нажать кнопку режима АВТОСУММА ().

Например, для получения значения выражения , необходимо выделить клетки В2:Н2 и нажать кнопку «».

Используя результаты вычисления значений выражений , , и , составим систему нормальных уравнений:

и найдем ее решение методом определителей:

; ,

где – определитель системы, и – частные определители.

= ; = ;

= .

Для вычисления определителя матрицы, необходимо ввести ее элементы в массив клеток размера 2х2. Установить курсор в клетке, предназначенной для размещения значения определителя, нажать кнопку «Функции» (f *), выбрать категорию МАТЕМАТИЧЕСКИЕ и выделить функцию МОПРЕД. В ссылке МАССИВ указать адрес размещения матрицы (рис. 2): нажать правый значок ссылки, выделить матрицу, вновь нажать тот же значок, проверить правильность ввода адресов клеток, содержащих матрицу и нажать кнопку «ОК».

Рис. 2

Найденные значения определителей равны: 1682,38; =129336,47;

= –581,98, а коэффициенты линейного регрессионного уравнения – ; .

Построенное уравнение регрессии имеет вид:

и позволяет сделать вывод, что с ростом средней заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров в среднем снижается приблизительно на 0,35 %.

2. Рассчитаем коэффициент парной линейной корреляции:

или .

Для этого вычислим средние значения зависимой и независимой переменных и их среднеквадратические отклонения и :

; ; ; ;

; .

Например, рассчитаем среднеквадратическое отклонение . Для этого вначале вычислим значения и . В клетке J5 введем формулу =I5/7, а в клетке J3 – формулу =I3/7. В клетке К3 вычислим значение дисперсии : наберем в ней формулу = J5-J3^2. В клетке L3 вычислим значение : нажмем кнопку «Функции» (f *), в категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ выделим функцию КОРЕНЬ. В ссылке ЧИСЛО укажем адрес клетки К3. Аналогично вычислим значение .

Вычислим коэффициент парной линейной корреляции:

Связь между переменными умеренная обратная.

Определим коэффициент детерминации:

то есть изменения переменной у на 12,5 % объясняются вариацией переменной х.

Подставим в построенное уравнение регрессии фактические значения переменной х и определим прогнозные (расчетные) значения зависимой переменной. Для этого в клетку В7 введем формулу =$ХХ+$YY*B3, где ХX – адрес клетки, содержащей значение коэффициента , YY – адрес клетки, содержащей значение коэффициента (знак «$» необходимо ввести для того, чтобы при размножении данной формулы в клетки В7:Н7 выполнялась адресация только к клеткам, содержащим коэффициенты).

В данном примере в клетку B7 введена формула =$F15+$F16*B3.

После ввода формулы выделим клетки В7:Н7 и размножим введенную формулу, указав режимы ПРАВКА − ЗАПОЛНИТЬ − ВПРАВО. Используя кнопку АВТОСУММА (), вычислим сумму прогнозных значений и сравним полученную сумму с суммой фактических значений . Они должны быть одинаковыми.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

Для этого заполним клетки В8:Н8 и клетки B10:H10. Для вычисления модуля выражения необходимо использовать функцию ABS (категория МАТЕМАТИЧЕСКИЕ). Найденная средняя ошибка аппроксимации 8,14 % означает, что в среднем расчетные значения отличаются от фактических значений y на 8,14 %.

Проведем оценку значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. С этой целью для вычисленных оценок коэффициентов регрессии и для линейного коэффициента корреляции найдем расчетные значения t-статистик Стьюдента:

; ; ;

; ; .

Сравним фактические и критическое (табличное) t_крит значения t ‑статистик. Для определения критического значения t ‑статистики используется функция СТЪЮДРАСПОБР (категория СТАТИСТИЧЕСКИЕ). Зададим ее параметры: вероятность 0,05 и число степеней свободы N – 2 = 7 – 2 = 5.Cравним значения tа ₀и tа ₁с критическим значением: , то есть коэффициент а ₀ является значимым;

, то есть коэффициент а₁ является незначимым;

, то есть линейная связь между переменными исследуемого уравнения является статистически незначимой (выявленная зависимость между переменными является случайной).

Проведем оценку качества построенного уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера. Для этого рассчитаем фактическое значение F - критерия:

Для определения критического значения F ‑критерия Фишера необходимо использовать функцию FРАСПОБР (категория СТАТИСТИЧЕСКИЕ). Зададим ее параметры – вероятность 0,05, а также два числа степеней свободы (1 и N-2= 7-2=5).

Сравним фактическое и критическое (табличное) F_крит значения:
.

Значит, выявленная зависимость имеет случайную природу, а коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи статистически незначимы.

Задание 2. По исходным данным, соответствующим Вашему варианту задания (стр. 13), требуется:

1. Для определения характеристики зависимости y от x рассчитать коэффициенты следующих моделей: а) степенной ; б) показательной .

2. Оценить каждое построенное уравнение через среднюю ошибку аппроксимации, t -критерий Стьюдента и F -критерий Фишера.

3. Из трех (линейного, степенного и показательного) построенных на первом и втором практических занятиях уравнений выбрать то, которое наилучшим образом описывает взаимосвязь исходных данных.

Задание выполнить средствами табличного процессора MS Excel в соответствии с предыдущим примером выполнения задания.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: