Парные измеряющие (регрессионные) модели и корреляция

Простейшим видом измеряющих (регрессионных) моделей являются модели, характеризующие зависимость между двумя признаками (факторами), т.е. модели вида:

y = ƒ (x), где

y - зависимая переменная, т.е. результативный признак;

x - независимая или объясняющая переменная величина, т.е. признак фактора.

Например, бизнесменов, предпринимателей, экономистов, менеджеров интересует как изменится спрос на конкретный вид товара, если цены увеличатся на 12,3%, причем, при насыщенности рынка на данный товар на уровне 84,5%. Или в какой степени является целесообразным увеличение выпуска продукции на 15,5%, если цены на товары увеличиваются на 8,4%, а насыщенность рынка составляет не более 92%. Или еще, их интересует: какие товары надо производить, какого качества, в каком количестве, на какой рынок следует ориентироваться и т.д.

На все эти вопросы отвечают измеряющие эконометрические модели, если они подобраны, обоснованы адекватно, повторяю, если они выявлены с учетом объективной, достоверной информацией, а также учета комплекса внутренних и внешних факторов. В связи с этим хотелось бы, чтобы слушатели внимательно относились к эконометрическим моделям, исследованиям.

При количественной оценке связей между двумя переменными возможны использования следующих формул:

1. у = а + bx;        6. y = a · b^x;

2. y = а +  ;         7. y = ;

3. y = a · x^b;          8. ℓg y = a + bx + cx²;

4. y = ;        9. y = ;

5. y = a + bx + cx²; 10. y = a + bx + cx² + dx³ и другие.

Пример 1. Предположим имеются данные, характеризующие динамику спроса в зависимости от цены

у - спрос                         х - цена

35,4                                 18,1

36,2                                 17,4  

36,8                                 17,1

37,1                                 16,8

37,7                                 16,3

37,9                                 16,1

Требуется исследовать, измерить дальнейшее поведение спроса, если тенденция снижения цен сохранится.

Решение аналогичных задач в основном состоит из четырех последовательных и в то же время взаимосвязанных этапов: анализ исходной информации, следовательно, определение тенденции поведения системы; выбор математической формы связи; решение системы; анализ результатов решения системы, следовательно, обоснование конкретных выводов и рекомендации.

Этап 1. Анализ данных. Анализ данных дает основание утверждать, что спрос увеличивается, а цена снижается. Уровень роста спроса составляет около 7,1%, а уровень снижения цен - 11,0%.

Итак, со снижением цен, спрос увеличивается, причем уровень снижения цен выше, чем уровень увеличения спроса.

Этап 2. Выбор функции связи. Есть основание утверждать, данная зависимость имеет обратнопропорциональный характер, типа y = a + , где

у - спрос;

х - цена;

a и b - параметры системы;

Этап 3. Решение системы. Составляем систему стандартных уравнений:

                     (1)

Для решения системы (1) желательно составлять вспомогательную таблицу.

 

 

Таблица 1

Для решения параметров а и b

№ пп	у	х		у	х2		х · у	у2
1	35,4	18,1	0,055	1,96	327,61	0,003	640,74	1253,16
2	36,2	17,4	0,057	2,08	302,76	0,003	629,88	1310,44
3	36,8	17,1	0,058	2,15	292,41	0,003	629,28	1354,24
4	37,1	16,8	0,060	2,21	282,24	0,004	623,28	1376,41
5	37,7	16,3	0,061	2,31	265,69	0,004	614,51	1421,29
6	37,9	16,1	0,062	2,35	259,21	0,004	610,19	1436,41
∑	221,1	101,8	0,353	13,06	1729,9	0,021	3747,9	8151,95

 

На основе данных таблицы составляем систему стандартных уравнений в количественном отношении:

221,1 = 6а + 0,353b

13,06 = 0,353а + 0,021b,                  (2)    

Путем решения системы (2) имеем:

у = 18,61 + .

Чтобы предвидеть возможные изменения спроса, вычисляем количественные характеристики спроса на основе полученной функции.

Итак,

Таким образом, спрос увеличивается. Уровень роста составляет 6,0%, т.е. по выявленной функции уровень роста на 1,0% ниже по сравнению с заданной функцией спроса.

Для выяснения адекватности выводов, как правило, вычисляются коэффициенты корреляции и детерминации. Расчеты ведутся по формулам:

,

где r - коэффициент корреляции;

 - средняя величина фактора;

 - средняя величина результативного признака;

 - средняя величина из попарных произведений изучаемых признаков x и y;

 - среднее квадратическое отклонение факторного признака;

 - среднее квадратическое отклонение результативного признака.

 

Коэффициент корреляции представляет собой величину, которая колеблется в пределах от 0 до ±1.

В тех случаях, когда коэффициент корреляции равен нулю, связь отсутствует. Если же он равен ±1, то связь между изучаемыми признаками функциональная, т.е. полная. Знак ± коэффициента корреляции указывает на направление связи (плюс - прямая связь, минус - обратная).

Если же r £ 0,5, связь между факторами можно считать слабой; если 0,51£ r £ 0,8, связь можно рассматривать как среднюю, а если r > 0,81 - связь можно отнести к более устойчивой категории.

Для выяснения доли связи между факторами вычисляется коэффициент детерминации:

r² = D.

Измеряется этот коэффициент в процентах.

В случае многофакторной зависимости вычисляется коэффициент множественной корреляции:

 

 .

2.2. Базовая регрессионная модель

Итак, на основе регрессионных моделей определяется влияние отдельных (или комплекса) факторов на результативный признак.

Базовую модель регрессионного анализа можно представить следующим образом:

, где

y_i - результативный признак i-го вида;

x_ij - факторы j-го вида, которые влияют на i-ый результативный признак;

a_ij - влияние отдельных факторов j-го вида на i-ый результативный признак;

a_i(u) - исходный уровень i-го результативного признака.

 

2.3. Основные виды и типы регрессионных моделей

Различают линейные и нелинейные виды регрессионных моделей. Линейный аналог регрессионных моделей имеет следующий вид:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ +... + a_kx_k,

где x₁, x₂,..., x_k - факторы, влияющие на результативный признак;

a₁, a₂,..., a_k - уровень влияния каждого фактора на результативный признак;

a₀ - начало отсчета, т.е. исходный уровень результативного признака.

Нелинейная регрессионная модель имеет следующий вид:

.

Как правило, в линейных регрессионных моделях поведение результативного признака носит прямо пропорциональный характер в зависимости от переменных величин, а в нелинейных наоборот - колебания результативного показателя являются неадекватными, т.е. носят непропорциональный характер.

В зависимости от решаемых экономических задач следует различать три типа регрессионных моделей: простые, сложные, суперсложные.

В простых регрессионных моделях, как правило, исследуются два, в отдельных случаях три фактора.

В сложных моделях исследование осуществляется под влиянием более трех факторов на основе различных функций.

В суперсложных моделях исследование осуществляется на основе комплекса внутренних и внешних факторов.

 

2.4. Оценка уравнения регрессии и корреляции

Для оценки существенности параметров регрессии и корреляции необходимо вспомнить математическую статистику. Как правило, сначала формируется нулевая гипотеза (Н₀), т.е. осуществляется F-тест. Для этого необходимо сравнить (F_факт) и (F_табл.). Значений F-критерия Фишера (F_табл) определяется на основе следующей зависимости:

F_факт. = , где

n - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных.

F_табл.  - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы.

Если F_табл.  < F_факт., то (Н₀) - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется.

Если F_табл.  > F_факт., то  гипотеза (Н₀) не отклоняется.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t- критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Оценка коэффициентов регрессии и корреляции с помощью           t-критерия Стьюдента производится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

; ; .

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

;

;

.

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистика - t_табл., t_факт. принимаем или отвергаем гипотезу (Н₀).

Если F_табл.  < F_факт., то (Н₀) отклоняется, т.е. а, b и r_ху сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.

Если F_табл.  > F_факт., то   гипотеза (Н₀) не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b, r_ху.

Для расчета доверительного интервала определяется предельная ошибка Δ для каждого показателя:

Δа = t_табл. ma, Δb = t_табл. mb.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют вид:

γ_а = а ± Δа;     γ_{а min} = а - Δа; γ_{а mах} = а + Δа;

γ_b = b ± Δb;     γ_{аb min} = b - Δb; γ_{b mах} = b + Δb.

 

Связь между F критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. В чем сущность эконометрических моделей регрессии, в частности спроса, предложения?

2. Приведите основные типы эконометрических моделей спроса, выпуска продукции, ценообразования.

3. Приведите правила составления системы стандартных уравнений.

4. В чем эконометрический смысл коэффициента множественной корреляции?

5. Приведите суждения относительно выбора функции связи?

6. Как рассчитывается F_факт.?

7. Когда отвергается (Н₀) - гипотеза?

8. Сформулируйте F-тест.

9. Сформулируйте t-критерий Стьюдента.

10. Обоснуйте связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента.