Стационарные и нестационарные ряды

Различают два вида рядов: стационарные и нестационарные. Стационарные ряды - это такие ряды, в которых не содержится тренд (рис.1):

 

 

Рис.1. Стационарные ряды

В нестационарных рядах содержится тренд (рис.2):

 

Рис.2. Нестационарные ряды

 

Стационарный ряд должен иметь постоянное среднее и должен колебаться вокруг этого среднего с постоянной дисперсией.

Стационарный ряд должен иметь одну и ту же функцию распределения при любых значениях t, а в более общем виде, если имеется ряд u_t необходимо, чтобы последовательные группы значений u_t+1, u_t+2,..., u_t+k имели одинаковые многомерные распределения при любых значениях t и k. И все же стационарный ряд имеет вероятный характер, но остается неизменным во времени.

 

3.2. Авторегрессия, автокорреляция

Пусть задан ряд значений:

u₁, u₂,...,u_m.

Если предшествующие члены этого ряда находятся в зависимости с последующими в момент t, мы имеем дело с авторегрессионной моделью.

В общем виде авторегрессионная модель имеет вид:

u_t = f (u_t-1, u_t-2,..., u_t-m).

Линейный ее вариант можно записать в следующем виде:

u_t = a₁u_t-1 + a₂u_t-2 +...+ a_mu_t-m + e_t,

где e_t - малая величина;

m - число членов, которое охватывает автокорреляционная модель (порядок автокорреляции).

Очевидно, что (u₁, u₂); (u₂, u₃);...; (u_m-1, u_m) образуют множество двухмерных величин с соответствующими коэффициентами корреляции стандартного типа.

Однако другие пары, в частности (u₁, u₃); (u₂, u₄); (u₃, u₅) и т.д. тоже образуют множество двухмерных величин, но в отличие от первого они образуют сериальные коэффициенты корреляции порядка k, т.е. r_k.

Итак, если имеется функция

y_t = f(y_t-1, y_t-2,..., y_t-k),

то в этом случае для характеристики взаимосвязи используются так называемые авторегрессионные модели.

Линейный ее аналог имеет вид:

y_t = a₁y_t-1 + a₂y_t-2 +...+ a_my_t-m.

Расчет коэффициента автокорреляции имеет вид:

;

где ;

 

 

Аналогично, коэффициент автокорреляции второго и более высоких порядков:

;

где ;

 

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины Лага, принято называть коррелограммой.

 

3.3. Динамические модели прогнозирования

Интерес к будущему возникает из непосредственной и острой практической потребности. Необходимость предвидения вероятного исхода отдельных экономических составляющих, в частности, спроса, предложения, стоимостных показателей, емкости рынка и т.д. особенно важна для бизнесменов, предпринимателей, менеджеров и т.п.

Предвидение событий позволяет заблаговременно приготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если есть возможность, то вмешаться в ход развития, контролировать его и, что более важно исследовать альтернативы будущего состояния.

Процессу прогнозирования предшествует аналитическая оценка исходной системы. Она должна производиться на основе охвата комплекса внутренних и внешних факторов. Затем происходит процесс прогнозирования, следовательно, и прогностическая оценка показателей.

Как правило, процесс прогнозирования осуществляется на основе формул:

 

1. y = a + bt

2. y = a + bt + ct²

3. y = a + bt + ct² + dt³ и т.д.

 

В зависимости от исходной информации прогнозирование может осуществляться на основе нижеприведенных формул:

y_t = ab^t.

Путем преобразования получаем:

.

;

;

.

 

В итоге:

.

 

Прогнозирование также может осуществляться на основе следующих формул:

 или

;

;

;

 и другие.