Глава 1. Математические основы эконометрики

Для предпринимателей, бизнесменов, экономистов, менеджеров, в конкретных обстоятельствах необходимо знать, оценить за счет каких факторов, и в какой степени можно увеличить прибыль предприятия, снизить издержки производства и т.д., т.е. необходимо количественно оценить возможные сценарии развития ситуации. Решение подобных задач, как правило, осуществляется на основе разумного применения теории функционального анализа, теории вероятности и математической статистики. Повторяю, чтобы обосновать приоритетные направления деятельности фирмы, предприятия и т.д. необходимо не только экономический образ мышления, но и достаточно высокий математический образ мышления.

1.1. Экстремум функции нескольких переменных

Изучение курса (предмета) эконометрики начнем с исследования функции - на экстремум. Безусловно, вопросы исследования экстремума функции слушатели знают из курса математического анализа. Но, здесь как бы мы повторяем с позиции оценки экономических показателей, в частности прибыли, издержки производства, рентабельности производства или продукции и т.д.

В первую очередь, введем некоторые определения:

Определение 1. Функция Z = ƒ (x, y)имеет максимум в точке М₀ (х₀, у₀), если значение функции в этой точке больше значений ее в точках, достаточно близких к точке М₀ (х₀, у₀), т.е.

ƒ (х₀, у₀) > ƒ (х₀+ Δх, у₀ + Δу).

Это означает, что полное прекращение функции Z = ƒ (х, у), вызванное переходом от точки (х₀, у₀) к соседней точке, будет величиной отрицательной:

ΔZ = ƒ (х₀ + Δх, у₀ + Δу) - ƒ (х₀, у₀) < 0. (1)

Определение 2. Функция Z = ƒ (x, y) имеет минимум в точке М₀ (х₀, у₀), если значение функции в этой точке меньше значений ее в точках, достаточно близких к точке М₀ (х₀, у₀), т.е.

ƒ (х₀, у₀) < ƒ (х₀+ Δх, у₀ + Δу).

Это означает, что полное прекращение функции Z = ƒ (х, у), будет величиной положительной:

ΔZ = ƒ (х₀ + Δх, у₀ + Δу) - ƒ (х₀, у₀) > 0. (2)

Допустим, что функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М₀ (х₀, у₀) максимум или минимум (экстремум).Тогда для функции должно удовлетворяться одно из неравенств (1) или (2) при любых, достаточно малых Δх, Δу.

Предположим, что Δу = 0; тогда функция Z = ƒ (х, у) сделается функцией только одной переменной х. Эта функция по условию имеет экстремум. Таким образом, условия обращения в нуль частных производных функции или несуществование хотя бы одной из них являются необходимыми условиями, но недостаточными условиями экстремума функции.

Итак,

. (3)

Условия (3) являются необходимыми для существования экстремума функции. Но может случиться, что эти условия в некоторых обстоятельствах невыполнимы.

1.2. Достаточный признак существования экстремума функции двух независимых переменных

Продолжаем курс лекций по эконометрике в части математического обеспечения. Напоминаем, что эконометрика в большей степени должна способствовать выявлению вариантных экономических решений с учетом комплексного охвата, как внутренних, так и внешних факторов.

Достаточные условия существования экстремума функции нескольких переменных имеют более сложный вид.

Пусть в точке М₀ (х₀, у₀) частные производные обращаются в нуль, т.е.

, .

Подсчитаем значения частных производных второго порядка функции

Z = ƒ (х, у) в этой точке и обозначим их соответственно буквами: А, В, С:

тогда:

1. Если АС - В² > 0, то функция Z = ƒ (х, у) имеет в точке М₀ (х₀, у₀) экстремум, а именно:

при А < 0 максимум,

при А > 0 минимум.

2. Если АС - В² < 0, то функция Z = ƒ (х, у) не имеет в точке М₀ (х₀, у₀) экстремума.

3. Если АС - В² = 0, то вопрос о существовании экстремума функции в точке М₀ (х₀, у₀) остается открытым и требуются дополнительные исследования.

Условный экстремум

Нередко при отыскании экстремума функции многих переменных аргументы функции связаны между собой одним или несколькими уравнениями, называемыми уравнениями связи. Число таких уравнений, естественно, должно быть меньше числа переменных величин, в противном случае переменные величины могут превратиться (при решении системы) в постоянные величины.

В этом случае, как правило, говорят об условном экстремуме. В отличие от обычного экстремума здесь речь идет о точках, координаты которых удовлетворяют уравнению связи. Предположим, что задана функция у = ƒ (х, у) и уравнение связи у = φ (х), представляемое линией L на плоскости 0ХУ. При этом задача отыскания условий экстремума функции Z = ƒ (х, у) будет состоять в том, чтобы на линии L найти такие точки, в которых значения функции будут наибольшими или наименьшими по сравнению со значениями ее в достаточно близких точках линии L.

Рассмотрим задачу на отыскание условий экстремума функции для того случая, когда задана функция двух переменных Z = ƒ (х, у), а уравнение связи имеет вид φ (х, у) = 0.

Если уравнение связи разрешимо относительно у, т.е. из него можно явно выразить у через х: у = ψ (x), то, делая подстановку в выражение функции Z = ƒ (х, у), получим функцию одной переменной:

Z = ƒ [x, ψ (x)] = F (x).

В случае, когда из уравнения связи не удается выразить одну переменную через другую, пользуются так называемым методом неопределенных множителей Лагранжа. Чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции Z = ƒ (х, у) при уравнении связи φ (х, у) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию (ее часть называют функцией Лагранжа).

Ф (х, у) = ƒ (х, у) + λφ (х, у), где λ - некоторая постоянная.

Затем, необходимо составить уравнение для отыскания точек экстремума. Очевидно, что таких уравнения должно быть три по числу неизвестных: х, у, λ.

Находим частные производные функции Ф (х, у) и используя необходимые условия существования экстремума функции получим эти три уравнения:

ƒ'_x (x, y) + λφ'_x (x, y) = 0