Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Каким должен быть наименьший вес тела 2, для того чтобы тело 1 весом 200 Н начало скользить по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения скольжения равен 0,6 (рис.71)?.

Задача 2.

Однородный брус АВ опирается в точке А на гладкую стену, а в точке В на негладкий пол. Определить наименьший коэффициент трения скольжения между брусом и полом, при котором брус останется в покое (рис.72).

 

 

 

Рис. 71                             Рис. 72

Задача 3.

 

Каким должен быть вес тела 1, для того чтобы началось скольжение вверх по наклонной плоскости, если  Н, а коэффициент трения скольжения  (рис.73)?

Задача 4.

 Каким должен быть наибольший вес тела 2, для того чтобы груз 1 весом 100 Н оставался в покое на наклонной плоскости, если коэффициент трения скольжения  (рис.74)?

 

       Рис. 73                                          Рис. 74

Задача 5.

Электровоз поднимается по прямолинейному пути, имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью. Вес электровоза 12000 кН. Какова должна быть сила тяги электровоза Р, если сопротивление движению равно 0,005 силы давления электровоза на рельсы?

Задача 6.

 Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А отверстие, которым он надет на круглую стойку СD. Длина втулки b =2 см. В точке Е на расстоянии a от оси стойки к стержню подвешен груз P. Определить, пренебрегая весом стержня АВ, расстояние a так, чтобы под действием груза P стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой  (рис.75)?

 

Рис. 75

Трение качения

Рис 76

Тело, имеющее форму катка, под действием приложенных сил, может катиться по поверхности другого тела. При этом из-за деформации поверхностей этих тел, в месте их соприкосновения, могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса – колеса электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в подшипниках.

Соприкосновение катка с поверхностью вследствие деформации происходит по некоторой площадке.

 При этом точка приложения нормальной реакции поверхности смещается так, что возникает пара сил  (), называемая парой сопротивления  качению (рис. 76).

Величина плеча  этой пары, зависящая от материала соприкасающихся тел, называется коэффициентом трения качения. Максимальная величина момента  пары сил, препятствующей качению ,  определяется по формуле

,

где  нормальная реакция плоскости, по которой катится тело.

В дальнейшем момент пары сил, препятствующей качению  , будем называть моментом сопротивления качению.

Установим минимальное значение силы , необходимой для качения катка.

Предположим, что каток остается в покое. Тогда выполняются следующие уравнения равновесия:

;     ;

;      ;           

;

Максимальная сила трения скольжения равна  , тогда при равновесии катка из первого уравнения .

Из третьего уравнения минимальное значение силы , при котором каток еще остается в покое, равно .

При увеличении значения силы , возможны следующие случаи движения катка:

– каток катится без скольжения, это так называемый случай чистого качения;

– каток катится со скольжением.

Рассмотрим все эти три случая:

1. если , то при

а).  – каток находится в покое;

в). – каток катится без скольжения;          

с). – каток катится со скольжением.

2. если , то при

а). – каток находится в покое;

в). – каток скользит, не вращаясь, то есть каток движется поступательно;                                                          

с). – каток катится со скольжением.

  Как правило, , то для начала качения катка требуется значительно меньшая сила , чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы  каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее увеличении к качению добавляется еще и скольжение.

Задача 1. При каких значениях угла наклона плоскости к горизонту, однородный цилиндрический каток радиуса м будет оставаться в покое, катиться без скольжения, катиться со скольжением. Коэффициент трения скольжения между плоскостью и катком , а коэффициент трения качения  м (рис. 77)?

              Рис. 77

Решение. На каток действуют силы тяжести , сила трения скольжения , момент сопротивления качению  и нормальная реакция наклонной плоскости . Пусть каток остается в покое под действием этих сил, поэтому выполняются уравнения равновесия:

;         ;

;            ; 

;    

Момент сопротивления качению равен .

1. Из второго уравнения ,   из третьего

Тогда = отсюда  Следовательно, равновесие сохранится для всех значений угла

 2. Из первого уравнения определим угол наклона плоскости, при котором каток будет катиться без скольжения. Максимальная сила трения скольжения равна

 , .

  Таким образом,  при значении угла  каток будет катиться без скольжения.

3. Если значение угла , то каток будет катиться со скольжением. 

Проверим соответствие полученного решения неравенствам (1) или (2).

По условию задачи  , а  , то есть выполняется соотношение  (случай 1). При движении по наклонной плоскости сила, под действием которой каток приходит в движение, равна .

1. Предельное значение угла при равновесии равно ,  тогда соотношение  ,  ,  выполняется и, следовательно, каток находится в покое.

2. При выполнении соотношения , каток катится без скольжения. Проверим, выполняется ли оно при изменении угла  в пределах . Например, ,  , . Тогда  0,5 ; 0,5  . Второе неравенство из (1) выполняется, следовательно, каток катится без скольжения.

3. Третье неравенство из (1)  должно выполняться при качении катка со скольжением. Пусть  , . Тогда  и 0,5 ; 0,5. Неравенство тоже выполняется, следовательно, каток катится со скольжением. 

Ответ: При  каток остается в покое.

       При  каток катится без скольжения.

       При , каток катится со скольжением.

 

Задача 2. На однородный каток весом 2 кН действует горизонтальная сила  Н и вертикальная . Каким должен быть наибольший модуль силы  для того чтобы началось качение катка, если коэффициент трения качения  м, радиус  м, ОА=0,4 м (рис.78)?

 

 

Рис.78

   

Рис.78

 

Решение. На каток действуют активные силы ,  Под действием силы  каток может катиться влево. Вследствие деформации катка возникает момент сопротивления качению, минимальное значение которого равно . Кроме того на каток действуют реакции поверхности – это нормальная реакция  и сила трения скольжения , приложенная в точке контакта катка и поверхности.

Так как требуется определить наибольший модуль силы  для того чтобы началось качение катка, то предполагается, что он еще находится в покое.

Составим уравнения равновесия сил, действующих на каток.

;           ;  

;          ;    

; .

Решим составленные уравнения: ,

, ,

Следовательно, при равновесии значение модуля силы  равно

 Н.

Если значение модуля силы будет больше Н, то каток начнет катиться.

Ответ:  Н.

 

Задача 3. Однородный каток 2 весом 4 кН связан с телом 1 нерастяжимой нитью. Радиус  м, коэффициент трения качения  м, момент пары сил  Нм. Определить наибольший вес тела 1, при котором оно начинает скользить, если коэффициент трения скольжения для катка и тела  (рис.79).

 

Рис.79

Решение. На груз 1 и каток 2 действуют силы тяжести  ,  , сила трения скольжения между поверхностью и грузом 1 , сила трения скольжения между поверхностью и катком 2 , нормальные реакции поверхностей  ,  . Каток 2 приводится в движение вращающим моментом М =  Нм. Вследствие деформации катка возникает момент сопротивления качению, минимальное значение которого равно . Так как момент сопротивления препятствует качению катка, то его направление противоположно вращающему моменту М.                                   

Силы трения скольжения будут соответственно равны = , =  . 

     

 

 

Рис. 80

Так как требуется определить наибольший вес тела 1, при котором начнется его скольжение, то предполагается, что и тело и каток еще находятся в покое. Составим уравнения равновесия для тела 1 и катка 2, отбросив между ними связь - это нить, а ее действие заменим реакцией нити .

Уравнения равновесия для тела 1:

1. ; = ;

2. ;

Из второго уравнения , а из первого =

Для катка 2 выполняются следующие уравнения равновесия:

1. ; = ;

2. ; ;

3. ;

 

Из второго уравнения . Третье уравнение преобразуем, подставив в него найденные значения сил: 

,
Ответ:  Н.

 

Задача 4. Однородный каток 1 весом 10 кН и радиусом 0,5 м связан грузом 3 горизонтальной нерастяжимой нитью, перекинутой через блок 2. Определить  вес груза 3, при котором каток будет оставаться в  покое или катиться, если  коэффициент  трения  качения  м, а коэффициент трения скольжения между катком и поверхностью  (рис. 81).

 

 

Рис. 81

Решение. На каток действуют силы тяжести , сила трения скольжения , пара сил сопротивления качению с моментом   и нормальная реакция плоскости . Каток может катиться под действием груза 3, вес которого равен . Поэтому отбросим мысленно груз 3 и блок 2, а их действие заменим реакцией нити, направленной вдоль нити и численно равной .

Предположим, что каток находится в покое, тогда выполняются следующие уравнения равновесия: 

 1. ;           ;

 2. ;          ;

 3. ;

Из второго уравнения .   Минимальное значение момента сопротивления качению, при котором каток остается в покое, определяется по формуле , и, следовательно, в данной задаче .

Минимальное значение силы , при котором каток остается в покое, определим из третьего уравнения:

. Отсюда  = =0,08 Н. Тогда при значении силы 0,08 Н каток будет оставаться в покое.

Из первого уравнения определим вес груза 3

=  Н.

Таким образом, если вес груза 3 будет изменяться в пределах Н, то каток будет катиться без скольжения. При дальнейшем увеличении веса груза 3  Н, каток будет катиться со скольжением.

Как показали расчеты, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила, чем для начала его скольжения. С точки зрения энергетических затрат этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения.

Ответ: при 0,08 Н каток будет оставаться в покое;

при  Н каток будет катиться без скольжения;

при  Н каток будет катиться со скольжением.