Указания к решению задач на равновесие системы сил

    При решении задач на равновесие нескольких тел, соединенных между собой необходимо провести следующие действия:

    1. Выделить систему сочлененных тел, равновесие которой необходимо рассмотреть.

    2. Изобразить активные (заданные) силы, действующие на систему.

    3. Отбросить внешние связи и заменить их реакциями.

    4. Наметить общий план решения, т.е. установить, как целесообразнее расчленить данную систему: рассмотреть равновесие каждого из сочлененных тел отдельно, или же равновесие всей системы в целом и дополнительно равновесие любой ее части. Определить общее количество искомых сил. К ним могут относиться появившиеся в результате расчленения системы неизвестные силы, определение которых в условии не требуется. Затем необходимо установить общее количество независимых уравнений равновесия, которые можно составить при данном расчленении. В статически определенной задаче число неизвестных величин должно равняться числу уравнений равновесия.

    5. Принять наиболее целесообразный порядок рассмотрения равновесия сочлененных тел. При этом, прежде всего надо рассматривать те тела, для которых из уравнений равновесия, составленных для них, можно сразу получить часть искомых величин, независимо от уравнений, составленных для других частей системы.

    6. Выбрать систему координат и рассмотреть равновесие первого из намеченных тел в принятой последовательности. Составить необходимые уравнения равновесия. Затем перейти к рассмотрению равновесия второго тела и составить соответствующие уравнения и т.д.

    7. Решить составленную систему алгебраических уравнений.

    8. Провести проверку полученного решения. Составить уравнение, которое не содержит сил, определяемых в процессе решения задачи. Чаще всего это осуществляется путем составления уравнений моментов сил относительно точки, через которую не проходят линии действия искомых величин.

        

Задача 1. Однородная горизонтальная балка BД весом =10кН свободно опирается в точке С на одиночную балку АС весом =15кН. На балку ВД действует пара сил с моментом М и сила , приложенная в точке Д, а к балке АС на участке =  действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Опорами системы служат жесткая заделка в точке А и неподвижный шарнир в точке В. Дано: F=20кН, , q=2кН/м; BД=8м, АС=10м. Найти реакции опор (рис. 30).

Рис. 30

    Решение. 1. Рассмотрим равновесие конструкции, состоящей из двух балок АС и ВД.

    2. На конструкцию действуют следующие внешние активные силы:  и  – вес каждой балки, сила  приложенная в точке Д, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q на участке О₂А балки АС и пара сил с моментом М.

    3.Освободим эту систему тел от связей и заменим их действие силами реакций:  и  – составляющие реакции неподвижного шарнира В, ,  и М_А – реакции жесткой заделки в точке А. Таким образом, на конструкцию действует система сил, лежащих в одной плоскости (рис. 31 а).

    4. Так как число неизвестных сил больше трех (, , М_А, , ), то для решения задачи расчленим конструкцию на две части и рассмотрим равновесие каждой части в отдельности.

    Согласно свойству внутренних сил .  – приложена к балке BД, а - к балке АС и

        

 

 

 

 

 

 

                          Рис.31   

 

 

5. Запишем уравнение равновесия для балки BД (рис. 31 б).

 

;

 

;

 

.

    Затем составим уравнения равновесия для балки АС. Равнодействующая распределенной нагрузки . Приложена сила  в середине отрезка  (рис. 31 в).

 

;

 

;

 

.

    6. Решая полученную систему из шести уравнений, находим:

 

;

;

;

;

.

    7. Для проверки правильности решения составим уравнение равновесия для системы сил, приложенных ко всей конструкции, например  (за центр моментов выбрана точка, через которую не проходят линии действия ни одной из определяемых реакций связей).

 

.

        

После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Решение верно.

Задача 2. Кронштейн состоит из горизонтального бруса AД весом , прикрепленного к стене шарниром А, и подкоса ВС весом Р₂=12Н, который с брусом и стеной соединен шарнирами. К концу Д бруса подвешен груз весом Q=30Н. Определить реакции шарниров А и С, а также давление в шарнире В (рис. 32).

 

Рис. 32

Решение. 1. Рассмотрим равновесие всего кронштейна.

    2. На кронштейн действуют две активные силы: - вес бруса, приложенный в точке О₁ и вес подкоса - в точке О₂.      

    3. Освободим кронштейн от внешних связей и заменим их действие силами реакций: ,  – составляющие реакции шарнира А, ,  – шарнира В. В точке Д отбросим нить, на которой подвешен груз, и заменим действие нити силой , числено равной весу груза, т.е. Т=Q (рис. 33 а).

Рис. 33

4. Проведем оси координат и составим уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 33а):

 

, ,

, ,

, .

    Полученные три уравнения, как видно, содержат четыре неизвестных  и , следовательно, этих уравнений недостаточно, чтобы решить эту задачу. Тогда расчленим эту конструкцию и рассмотрим дополнительно равновесие какой-нибудь ее части, например, горизонтальный брус АД. Реакцию шарнира В представляем ее составляющими (рис.33 б).

    5. Запишем уравнения равновесия для балки АД:

, ,

,

, .

    6. Решим полученную систему шести уравнений:

, ,

, ,

, .

    7. Для проверки правильности решения задачи составим для всей конструкции (рис. 33а) уравнение .

 

.

Сократив на «а» и подставив численные значения входящих величин, получим:

-278+278=0,  0=0. Таким образом, задача решена верно.

 

Задача 3. Две однородные балки АВ и ВС одинакового веса  соединены шарниром В и удерживаются в горизонтальном положении при помощи шарнира А, опоры Д и нити, прикрепленной в точке С, переброшенной через неподвижный блок и несущей на конце груз Q. Участок КС находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q = 2 кН/м, а участок АЕ – под действием распределенной нагрузки, изменяющейся по линейному закону с максимальной интенсивностью q_max = 2 кН/м. Найти величину груза Q и реакции опор в точках А, В, Д, если АЕ=ВЕ=ВК=КС=3 м, ЕД=2 м,

α=60° (рис. 34).

 

 

Рис. 34

        

Решение. 1.Для решения задачи систему балок делим на две части и рассматриваем равновесие каждой части в отдельности. Сначала рассмотрим равновесие балки ВС (рис. 35 а).

                                         

 

                                                                                                  Рис. 35

    2. На балку ВС действует ее сила тяжести , приложенная посередине балки. Равномерно распределенную нагрузку на участке КС заменим равнодействующей силой , . Сила  приложена в середине отрезка КС.

    3. Освободим балку от связей и покажем на рисунке реакции этих связей. Реакцию шарнира В представим ее составляющими , направленными параллельно проведенным осям координат. Реакция нити  направлена по нити, приложена в точке С и равна весу груза Q, т.е. Т=Q.

    4. Запишем уравнения равновесия для этой балки:

 

;

;

.

 

    5. Решая эти уравнения получим:

; ;

.

    6.Затем рассмотрим равновесие балки АВ(рис. 35 б). Распределенную нагрузку на участке АЕ балки заменим силой ,  Модуль силы  равен половине площади фигуры, которая изображает равномерно распределенную нагрузку на этом участке балки интенсивности . Приложена сила к балке АВ на расстоянии  от точки А. На балку АВ действуют силы  – ее вес,  – реакция опоры Д, и же реакция шарнира В . По свойству внутренних сил составляющие  и направлены противоположно .

        

1. Запишем уравнения равновесия для этой балки (рис. 35 б):

, ;

, ;

, .

 

2. Решим эту систему алгебраических уравнений.

,

,

.

        

3. Для проверки полученного решения для всей конструкции составим уравнение :

,

. Решение верно.

Задача 4. На невесомую трехшарнирную арку в точке Е действует сила F=10кН, составляющая угол α=60° с горизонтом. На части ДC арки приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=2 кН/м и пара сил с моментом . Определить реакции шарниров А и В, если ДC=CE=4м, AД=6м (рис. 36).

 

Рис. 36

Решение. 1. Рассмотрим равновесие всей арки в целом.

    2. К арке приложены следующие активные силы: , приложенная в точке Е и пара сил с моментом М. Равномерную нагрузку заменяем равнодействующей силой , приложенной в середине отрезка ДC.

    3. Освободим арку от внешних связей – неподвижных шарниров А и В. Заменим их действие силами реакций ,  (рис. 37 а).

                                                  

Рис. 37

4. Запишем уравнения равновесия для всей арки (рис. 37а):

, ;

,

;

, .

 

    Полученные три уравнения, как видно, содержат четыре неизвестных  Поэтому для решения задачи расчленим арку в точке С на две части, рассмотрим дополнительно равновесие любой ее части, например, левой части (рис. 37 б).        

 

    Замечание: при решении задач статики на равновесие системы тел не всегда надо составлять все уравнения равновесия. Если в условии задачи не требуется определение реакции какой-нибудь связи, то целесообразно составить такое уравнение, в которое эти неизвестные реакции не входили бы.

 

  5. В данной задаче не требуется находить реакцию внутреннего шарнира С. Тогда для левой части арки АС составим, дополнительно к выше составленным, одно уравнение:

, .

    6. Решим систему полученных алгебраических уравнений:

 

,

,

,

.

 

    7. Для проверки правильности решения задачи составим уравнение равновесия для всей арки (рис. 37а).

,

.

 

    Подставляя численные значения входящих величин, получим . Решение верно.