Конформное отображение

Отображение области , заданное аналитической функцией , называется конформным.

Отображение, осуществляемое линейной функцией , отображает треугольник в подобный треугольник . Координаты точек и находятся в результате подстановки значений координат точек и в функцию .

Пример. Найти образ треугольника с вершинами в точках и при отображении , если , , .

Решение.

Найдем ,

Рис.13

Изобразим на координатной плоскости - образ .

Дробно-линейная функция отображает окружность в окружность (прямая линия считается окружностью бесконечного радиуса).

Рис.14

Замечание: Две произвольные линии, пересекающиеся в точке

, отображаются в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке

так, что угол

между касательными к исходным и отображенным линиям один и тот же.

Задача 11. Заданы уравнения линий, отображающих область . Найти ее образ при дробно-линейном отображении .

Решение: Построим область : . Из рисунка видно, что - треугольник . Найдем

образы точек при заданном отображении: .

Рис.15

Т.к. отображение дробно-линейное, то окружность отображается в окружность.

Возьмем дополнительные точки области - середины отрезков , , : , , .

, , .

Отрезок отображается в дугу .

, .

Отрезок отображается в дугу .

Рис.16

Проверим свойства сохранения углов:

, (углы между касательными к дугам и , и )и т.д.

Область - образ области при заданном отображении .

Замечание: Если в результате отображения некоторая точка отображается в

, то считаем, что - все точки окружности с радиусом .

Пусть - произвольная гладкая кривая, лежащая в области , - функция комплексного переменного, непрерывная в области . Тогда по определению

, ( -маленькая) если предел в правой части существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на частичные дуги точками , ни от выбора точек .

Если функция -аналитическая функция в области , то значение интеграла не зависит от линии , а зависит от значений начальной и конечной точек этой линии и . Тогда , где -первообразная функции . Т.е. для вычисления интеграла от аналитической функции применяют обычные формулы интегрирования и формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема Коши. Если -аналитическая функция в области , то интеграл , взятый по любому замкнутому контуру , равен нулю.

Если не является аналитической функцией, причем , то вычисление интеграла сводится к вычислению двух криволинейных интегралов второго рода:

. (29)

Задача 12.1. , .

Рис.17

Решение. Функция

является аналитической. Тогда можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, учитывая, что интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек.

Задача 12.2. , .

Решение. Функция - не является аналитической, значит требуется вычисление при помощи криволинейных интегралов. Путь интегрирования на чертеже: - окружность с центром в т. и радиусом 2; -берем только правую половину окружности. .

Найдем действительную и мнимую часть функции :

Рис.18

т.к. , где ; .

Тогда , т.е.

Ряды Лорана

Пусть - однозначная и аналитическая функция в кольце . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда

(30)

Ряд в правой части равенства называется разложением в ряд Лорана функции . Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле:

, . (31)

Заметим, что ряд Лорана состоит их двух частей:

Ряд, стоящий в первой скобке, называется главной частью ряда Лорана, а ряд во второй скобке – правильной частью ряда Лорана.

Вычисление коэффициентов с помощью интегралов (31) часто бывает достаточно сложным. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используют искусственные приемы. Например, для разложения некоторых функций используют разложение в ряд Тейлора, а для разложения рациональных дробей используют сначала разложение на простые дроби, а затем используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (, где -первый член геометрической прогрессии, - знаменатель).

Задача 13.1. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Найдем разложение в ряд Тейлора функции , учитывая, что

, , тогда

Следовательно:

-разложение в ряд Лорана указанной функции.

Задача 13.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Разложим дробь на элементарные дроби:

Т.к. в условии указано кольцо , то разложение нужно искать по степеням (если указано кольцо , тогда разложение по степеням ). В таком случае дробь -уже является разложением в ряд Лорана.

Дробь представим как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , (т.к. из условия задачи , то что прогрессия с -убывающая):

Итого, разложение указанной функции в ряд Лорана имеет вид:

Вычеты функции

Если ряд Лорана содержит главную часть, то называется изолированной особой точкой. Коэффициент называется вычетом функции относительно изолированной особой точки .