2018-02-13
3795
Если каждому комплексному числу 
поставлено в соответствие некоторое комплексное число 
, то говорят, что в области 
определена комплексная функция 
.
Задача 6. Дано 
. Найти 
.
Решение. Подставим в заданную функцию 
значения: 
, 
.
(домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю)
.
Задача 7. Дана функция 
, где 
. Тогда 
Решение. По условию 
- действительная часть числа 
, 
- мнимая часть.
Тогда 
.
Пусть , а 
. Тогда функция 
может быть представлена с помощью двух действительных функций 
и 
, зависящих от действительных переменных 
и 
:
,
где 
- действительная часть функции ,
- мнимая часть функции .
Задача 8. Найти действительную и мнимую часть функции 
.
Решение. , тогда
.
Таким образом 
, 
.
Основные элементарные функции комплексной переменной.
1) Показательная функция.
. (15)
, 
.
Пример. Найти действительную и мнимую части числа 
.
Решение.
, 
(в радианах).
Запишем 
в тригонометрической форме:
,
(напомним, что 
, 
)
Тогда 
, 
.
2) Тригонометрические функции.
Используя разложение в ряд Тейлора функций 
, 
, 
, найдем разложение следующих функций:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Заметим, что 
(22)
, 
(домножим числитель и знаменатель на 
)
(23)
Тогда можно вывести формулы 
и 
.
Пример. Найти действительную и мнимую часть числа 
.
Решение. Воспользуемся формулами:
,
.
Тогда:
.
, 
.
; 
;
; 
. (24)
(25)
Выражение 
называется главным значением логарифмической функции и обозначается 
. Таким образом,
. (26)
Видно, что функция 
имеет множество значений, отличающихся друг отдруга на 
.
Пример. Найти действительную и мнимую часть числа 
.
Решение. 
, т.е. 
, 
.
.
.
Т.к. 
и 
лежит в первом квадранте, т.е. 
.
; 
.
5) Общая степенная 
и общая показательная 
функции:
а) 
, б) 
. (27)
Обе функции имеют множество значений, поскольку в формулу их вычисления входит функция 
или 
, которая сама по себе имеет множество значений.
Аналогично определяется 
.
Пример. Найти действительную и мнимую часть числа 
.
Решение. 
.
Преобразуем 
; 
,
, 
,
.
= 
.
, 
.
