Понятие функции комплексного переменного

Если каждому комплексному числу  поставлено в соответствие некоторое комплексное число , то говорят, что в области  определена комплексная функция .

Задача 6.  Дано . Найти .

Решение. Подставим в заданную функцию  значения: , .

(домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю)

.

Задача 7. Дана функция , где . Тогда

Решение. По условию  - действительная часть числа ,  - мнимая часть.

Тогда .

Пусть , а . Тогда функция  может быть представлена с помощью двух действительных функций  и , зависящих от действительных переменных  и :

,

где  - действительная часть функции ,

 - мнимая часть функции .

Задача 8. Найти действительную и мнимую часть функции .

Решение. , тогда

 

.

Таким образом , .

Основные элементарные функции комплексной переменной.

1) Показательная функция.

.                      (15)

, .

Пример. Найти действительную и мнимую части числа .

Решение.   

,  (в радианах).

Запишем  в тригонометрической форме:

,

(напомним, что , )

Тогда , .

2) Тригонометрические функции.

Используя разложение в ряд Тейлора функций , , , найдем разложение следующих функций:

                                                                                  (16)

                  (17)

                                                       (18)

                                                        (19)

                                                                                            (20)

                                                                                            (21)

Заметим, что

(22)

,

(домножим числитель и знаменатель на )

 (23)

Тогда можно вывести формулы  и .

Пример. Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. Воспользуемся формулами:

,

.

Тогда:

.

, .

3) Гиперболические функции.

; ;

; .                                                      (24)

4) Логарифмическая функция.

                                             (25)

Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается . Таким образом,

.                                                                 (26)

Видно, что функция  имеет множество значений, отличающихся друг отдруга на .

Пример. Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. , т.е. , .

.

.

Т.к.  и  лежит в первом квадранте, т.е. .

;   .

5) Общая степенная  и общая показательная  функции:

а) ,           б)  .                                                                (27)

Обе функции имеют множество значений, поскольку в формулу их вычисления входит функция  или , которая сама по себе имеет множество значений.

Аналогично определяется .

Пример.  Найти действительную и мнимую часть числа .

Решение. .

Преобразуем ; ,

, ,

.

=

.

, .