Применение вычетов к вычислению интегралов

Основная теорема о вычетах:

Пусть -аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек , ,…,  (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению  на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

.                                                                                      (32)

Задача 15.а). Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в задаче 14.

Особые точки  лежат в круге , тогда:

.

Задача 15.б). Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в задаче 14.

Особые точки , .

.

 

 

Вариант 1

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а)k= 3

б)k=2/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть , ,тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл ,         АВ: , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 2

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , Rez<1, Imz>-1.

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 4

б) k= 1/7

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл . , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: , .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 3

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , Rez<1, .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k=2

б)k= 3/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл , АВ - отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 4

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 3

б) k= 4/7

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , , .

12. Вычислить интеграл , АВ - отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: , .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 5

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 5

б) k= 1/3

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 6

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , Rez 1, Imz>-1.

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 4

б) k=2/3

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ – отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 7

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 5

б) k= 2/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ – отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 8

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 3

б) k= 2/7

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным:

.

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

Вариант 9

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 3

б) k= 4/7

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ , ВС - отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 10

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 5

б) k= 1/3

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 11

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 4

б) k= 2/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , ,.

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл ,  - граница области: .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 12

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 5

б) k= 2/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а)

б)

 

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)

б)

 

Вариант 13

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ()

а) k= 2

б) k= 3/5

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию