Математическое моделирование

В самом общем случае математическое моделирование определяют как описание сущест­венных черт изучаемого объекта или явления при помощи математичес­кой символики, математических отношений [11,31].

Математическая модель может включать в себя следующие элементы:

§ Параметры есть величины, которые при моделировании можно про­извольно выбирать.

§ Переменные могут принимать лишь те значения, которые определяются видом функциональной зависимости.

§ Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах элемента или выражают соотношения между эле­ментами системы. Эти соотношения по своей природе являются либо детерминированными, либо стохастическими.

§ Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изме­нения значений переменных. Они могут вводиться искусственно, либо определяться самой системой вследствие присущих ей свойств.

§ Целевая функция - это точное отображение целей и задач систе­мы и необходимых правил оценки их выполнения.

Математическая модель подразумевает отражение процессов, происходящих в реальном объекте. На рис. 1.3. показана схема модели реального объекта (процесса, явления).

Элементы  называются входами объекта (входными переменными);  - выходы объекта (выходные переменные);  - параметры модели; - состояние объекта. Входы и выходы осуществляют связь объекта с внешней средой. В самом общем случае модель реального объекта описывает взаимосвязь выхода от входа с учетом внутренних состояний объекта. Изучается влияние на выход как управляемых, контролируемых, так и всех неконтролируемых, неуправляемых входных переменных.

Процесс построения математической модели в самом общем случае можно разделить на несколько этапов [29,33]:

1. Системное обследование объ­екта и формулировка проблемы. Итогом предварительного обследования является описание исследуемого объекта на естественном языке с формулировкой гипотезы, которую надо проверить, или показателей, информацию о которых необходимо получить. На этом этапе должны быть решены следующие вопросы: сформулирована цель исследования; осуществлено концептуальное описание модели; решен вопрос о методах решения модели.

На этом этапе осуществляется определение границ системы; отделение ее от внешней среды (посредством отделения эндогенных факторов от экзогенных); составление списка элементов системы; выявление сути, целостности системы; анализ взаимосвязей элементов системы; построение структуры системы; установление функций систем и ее подсистем; согласование целей системы и ее подсистем; анализ явлений эмерджентности.

2. Построение модели. В ходе построения модели можно выделить следующие подэтапы:

2.1. Постановка проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя  бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2.2. Построение формализованной модели. Это - этап формализации проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Этап формализации может быть представлен в виде построения диаграммы причинно-следственных связей, выделения контуров. Стрелки диаграммы указывают направление воздействия, в узлах помеща­ются переменные. Диаграмму удобно строить, начиная от целевых пе­ременных. Такая диаграмма дает возможность наглядно представить зависимости в сложных моделях и легко проверить, все ли переменные существенны для целей исследования и не упущена ли какая-нибудь переменная.

Определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). При этом необходимо придерживаться принципа научной самодостаточности, известной науке в виде "бритвы Оккама", запрещающей без особой необходимости множить сущности. Поэтому, сталкиваясь с новой задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель - вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

2.3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает, следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной и информации.

3. Проверка адекватности модели. Здесь осуществляется проверка соответствия разработанной модели исследуемому объекту, на основании которой решается вопрос о целесообразности дальнейшего использования модели.

В соответствии с характером моделируемого процесса математические модели могут быть разделены [1,4,11,42]:

§ по способу учета фактора времени - на непрерывные и дискретные;

§ по учету фактора неопределенности в преобразовании входа в выход - на детерминированные и стохастические (статистические, вероятностные);

§ поспособу получения модели, т.е. типу информации, используемой для ее построения, модели подразделяются на аналитические (построенные на базе априорной информации) и статистико-экспериментальные (построенные на базе апостериорной информации, по принципу так называемого «черного ящика»);

§ по типу подхода к изучаемым системам модели подразделяются на дескриптивные (описательные) и нормативные модели (оптимизационные и модели уровня жизни);

§ по принципу описания изучаемых систем - на структурные, функциональные и структурно-функциональные.

Если сделать акцент на экономико-математических моделях, то можно дополнительно выделить еще несколько классификационных признаков [9,42]:

§ по степени агрегирования объектов – макроэкономические (описывают функционирование экономики в целом, используя укрупненные материальные и финансовые показатели) и микроэкономические (описывают функционирование экономических агентов на микроуровне);

§ по конкретному предназначению – балансовые (например, модели межотраслевого баланса), трендовые (например, производственные функции), оптимизационные (например, модели оптимизации загрузки производственных мощностей, рационального распределения материальных ресурсов), имитационные (модели, предназначенные для воспроизведения поведения различных систем).

Если при классификации исходить из способа дальнейшего использования модели, то можно выделить аналитические и имитационные модели.

Аналитическая модель может исследоваться одним из способов:

§ аналитически, - когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых величин;

§ численно, - когда не имея возможности аналитически решить уравнения, мы все же имеем возможность получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

§ качественно, - когда не имея решения в явном виде, мы можем найти некоторые свойства решения, например, оценить устойчивость решения [32].

Исходная математическая мо­дель оказывается иногда не пригодной для преобразования к виду, необходимому для получения аналитического решения или применения численных методов. В таком случае ис­пользуют имитационные модели. При имитационном моделировании соотношения математической модели преобразуются в специальный моделирующий алгоритм, отражающий про­текание процессов во времени в той логической последовательности и с теми причинно-следственными связями, которые наблюдаются в изу­чаемом объекте. Моделирующий алгоритм, преобразованный далее в программу для ЭВМ, совместно с вычислительной средой образует ими­тационную модель.

ТЕМА №2