Примеры решения задач к контрольной работе №1

1 2 3 4 5

Задача №1

Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:

1) уравнения сторон и и их угловые

коэффициенты;

2) угол в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;

3) уравнение высоты и ее длину;

4) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой .

Сделать чертеж (рис.1).

Рис. 1

Решение. 1) Найдем координаты векторов и , для чего воспользуемся формулой

Тогда , . Эти векторы являются направляющими векторами прямых, на которых лежат соответствующие стороны треугольника и для получения их уравнений можно использовать каноническое уравнение прямой на плоскости

В результате получим

(),

().

Разрешая эти уравнения относительно , т.е. приводя их к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

найдем , .

2) Угол треугольника совпадает с углом между векторами и и для его нахождения можно использовать формулу

По таблице найдем значение угла : < ().

3) Для получения уравнения высоты приведем уравнение стороны к виду общего уравнения прямой на плоскости

().

Из рисунка видно, что вектор нормали к прямой является направляющим вектором высоты , т.е. , и можно вновь воспользоваться каноническим уравнением прямой на плоскости

().

Длину высоты вычислим по формуле вычисления расстояния от точки до прямой :

В нашем случае .

4) Найдем координаты точки , являющейся серединой отрезка

; .

Т.о., , и для нахождения уравнения медианы можно использовать уравнение прямой, проходящей через две точки и : . Тогда получим

или ().

Наконец, для вычисления координат точки , решим совместно уравнения прямых и , предварительно приведя их уравнения к общему виду

Отсюда получим .

Задача №2

Даны координаты вершин пирамиды :

, , , . Найти:

1) длину ребра ;

2) угол между ребрами и ;

3) уравнение плоскости и угол между ребром

и плоскостью ;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань

и ее длину;

5) площадь грани и объем пирамиды.

Сделать чертеж.

Решение. 1) Длина ребра совпадает с расстоянием между точками и :

2) Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины ребрами пирамиды:

Угол между ребрами и совпадает с углом между векторами и . Определим этот угол, используя формулу скалярного произведения векторов:

Отсюда

Тогда

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид

Подставляя в уравнение координаты точек , и получим

или

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид

Составим уравнение прямой, проходящей через точки и . Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

где – координаты первой точки, – координаты второй точки. Подставляя в уравнение координаты точек и , получим

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

Воспользуемся этой формулой для вычисления угла между ребром и плоскостью :

Отсюда .

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , задаваемой уравнением . Из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует , поэтому уравнение высоты имеет вид

Для нахождения длины высоты можно использовать формулу . Объем и площадь будут найдены в п.5). Поэтому .

5) Грань представляет собой треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем

Следовательно,

Для вычисления объема пирамиды воспользуемся смешанным произведением векторов. Напомним, смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. А объем пирамиды равен части объема этого параллелепипеда. Имеем

Поэтому .

Задача №3

Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и точки .

Решение. Пусть точка принадлежит искомой прямой. Расстояние между точками и вычисляется по формуле

По условию задачи , поэтому . Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные члены, получим . Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Рекомендуется проверить, что эта прямая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.

Задача №4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.

Расширенная матрица системы уравнений имеет вид

Поменяем местами первую и четвертую строки этой матрицы

Сложим первую и вторую строки матрицы. Затем последовательно умножим первую строку на (-2) и на (-3) и сложим с третьей и четвертой строками. Получаем:

Сложим вторую и третью строки матрицы. Затем умножим вторую строку на 4, а четвертую на 3 и сложим эти строки. Получим матрицу вида

Сложим третью строку матрицы с четвертой. В результате получим матрицу

Полученной матрице соответствует система уравнений вида

Из последнего уравнения находим . Из третьего уравнения находим, что . Из второго уравнения следует, что . Откуда . Подставив найденные значения в первое уравнение, получим

Решение системы:

Задача №5

Решить систему линейных уравнений

1) методом Крамера;

2) используя обратную матрицу.

Решение. 1) Решим систему уравнений методом Крамера. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

находится по формулам

где

(предполагается, что Δ ≠ 0),

, , .

Для данной системы уравнений имеем

Вспомогательные определители

, ,

Решение системы уравнений

2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде

где

Решение матричного уравнения имеет вид

где – матрица, обратная к матрице А. Заметим, что поскольку определитель матрицы А не равен нулю (, см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно, имеет обратную.

Обратная матрица находится по формуле

где Δ – определитель матрицы А, – алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения:

Таким образом,

откуда

Следовательно, , , .

Задача №6

Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ; б)

в) ; г) .

Решение. а) .

И числитель, и знаменатель дроби при стремятся к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель на , получим

б) ;

И числитель, и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение . Получим

в) ;

Имеем неопределенность вида . Воспользуемся первым замечательным пределом . Получим

г) ;

Имеем неопределенность вида . Воспользуемся вторым замечательным пределом .

Введем в рассмотрение новую переменную , при . Тогда . Переходя к новой переменной, получим

Задача №7

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение. На промежутке функция совпадает с функцией . Это элементарная функция. Указанный промежуток входит в область определения функции . Значит на промежутке функция непрерывна, а, следовательно, на этом промежутке непрерывна и функция . Аналогично устанавливается непрерывность функции на промежутках (1; 2), (2; 5) и (5; + ∞).