Лабораторна робота № 10

Дослідження критичної швидкості обертання вала

 

Мета роботи –визначити теоретично і експериментально величину значення критичної частоти обертання вала.

 

Теоретичні відомості

Для того щоб те чи інше тіло здатне було здійснювати коливання, воно повинно мати певну масу і пружність. Якщо пружне тіло (навантажена балка, скручений вал або деформована ресора) або пружна система була виведена з положення рівноваги якою-небудь сторонньою причиною (ударом або раптово прикладеною силою), то сила пружності цього тіла в новому положенні вже не зрівноважиться навантаженням, і виникнуть коливання.

Коливання пружної системи характеризуються амплітудою А і частотою  .

Амплітуда А це максимальне відхилення механічної системи від положення рівноваги.

Частота коливань  це число повних коливань, які здійснюються за одиницю часу.

Знаючи частоту коливань, можна знайти період коливань Т (час одного повного коливання) за формулою

 

    .                                       (10.1)

 

Величина, обернення періоду коливань, визначає кількість коливань за одиницю часу (секунду) і має назву секундної частоти

 

.                                    (10.2)

 

Прикладом пружної системи з одним ступенем вільності може бути горизонтально розміщений вал з одним диском (рис. 10.1). Відомо, що при деякій цілком певній частоті обертання вала, при якій робота вала стає динамічно нестійкою, настає так званий резонанс. При цьому можуть виникати великі поперечні коливання вала. Частота обертання вала, при який настає резонанс, називається критичною.

Розглянемо обертання горизонтально розміщеного вала з одним диском вагою Q посередині (рис. 10.1). При визначенні критичної швидкості обертання вала масою вала порівняно з масою диска знехтуємо.

 

 

 

Рисунок 10.1. Схема пружної системи з одним ступенем вільності

 

Припустимо, що центр ваги О диска розміщений на відстані е від його осі. При обертанні такої системи на вал буде діяти відцентрова сила, що спричиняє його згинання:

 

                                 (10.3)

 

де Q − вага диска; g – прискорення вільного падіння;  − кутова швидкість обертання вала; е – ексцентриситет; у − прогин вала в перерізі, де насаджений диск.

Реакція на опорах вала від дії відцентрової сили:

 

                                             (10.4)

 

де c − згинальна жорсткість вала.

З умови рівноваги системи очевидно, що Р = F. Підставляючи замість Р та F їхні вирази. Дістанемо рівняння для визначення прогину у:

 

,                                          (10.5)

 

звідки

 

.                                   (10.6)

 

Ураховуючи, що

 

 

рівняння (10.6) запишемо так:

 

,                                      (10.7)

 

    де ω_в – частота власних поперечних коливань системи.

    З рівняння (10.7) видно, що прогин вала у швидко зростає при наближенні кутової швидкості обертання вала ω до частоти ω_в власних поперечних коливань вала з диском. Критична кутова швидкість обертання вала

 

.                                  (10.8)

 

Для вала постійного перерізу при розміщенні диска посередині між опорами (див. рис. 10.2) згинальна жорсткість вала с визначається за формулою

 

,                                    (10.9)

 

    де Е – модуль пружності матеріалу вала;  - момент інерції вала; l – довжина вала між опорами (див. рис. 10.1).

Підставляючи (10.9) в (10.8) отримуємо

 

,                            (10.10)

звідки

 

,                                (10.11)

 

    де  - статичний прогин вала в перерізі, де закріплений диск, під дією ваги диска.

    Відомо, що кутова швидкість обертання вала ω з частотою обертання вала n зв’язана наступною залежністю:

 

 

звідки

 

 

    Критична частота обертання вала

 

  .                                  (10.12)

 

    Підставляючи (10.11) в (10.12) отримуємо

 

                                  (10.13)

або

 

.                             (10.14)

 

Опис установки

Загальний вигляд установки показано на рис. 10.2. Установка складається з вала 1 (рис. 10.3) діаметром d, який встановлено на двох опорах 4. Відстань між опорами, тобто довжина вала, дорівнює l. На вал по середині насаджено диск 2 вагою Q. Вал з’єднується з валом електродвигуна 7 за допомогою муфти 3. Реостат 5 служить для регулювання частоти обертання вала. Тахометр 6, який встановлений на вільному кінці вала 1, служить для контролю частоти обертання вала.

 

 

 

Рисунок 10.2 Установка для визначення величини значення критичної частоти обертання вала

 

 

Рисунок 10.3 Схема установки для визначення величини значення критичної частоти обертання вала

    Реостатом 5 (див. рис. 10.3) поступово збільшують частоту обертання вала. При цьому вал, який працює без видимих поперечних коливань, починає коливатися. Коли частота обертання вала стає рівною частоті власних коливань вала з вантажем (), амплітуда коливань досягає максимальної величини. З подальшим збільшенням числа обертів n (вище критичного) амплітуда коливань зменшується, і вал знову працює спокійно.