2018-02-20
265
то используя (8) получим формулу для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье:
(15)
Множество коэффициентов комплексного ряда Фурье, рассматриваемое как функция частоты, называют комплексным спектром периодического колебания.
СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Непериодическое колебание можно представить как периодическое с бесконечно большим периодом 
Рассмотрим спектр колебания с периодом, стремящимся к бесконечности. При этом разность соседних частот гармоник 
стремится к нулю. Гармоники сближаются, и спектр становится сплошным. Комплексную амплитуду гармоники можно записать, заменив в выражении (15) множитель 2/ T множителем W/p:
В полученном выражении при 
дискретная переменная nW превращается в непрерывную переменную w, частота W - в бесконечно малую величину dw, а комплексная амплитуда – в непрерывную функцию частоты w:
(16)
Так как dw - величина бесконечно малая, то 
также бесконечно малая. Следовательно, непериодическое колебание можно разложить на бесконечное число гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами. На практике пользоваться бесконечно малыми величинами неудобно, поэтому спектр непериодического колебания описывается функцией спектральной плотности
(17)
определенной на всей оси частот w: от 
до 
.
Преобразование колебания по данной формуле называют прямым преобразованием Фурье и иногда записывают в виде 
Обратное преобразование Фурье можно осуществить, подставив выражение (15) в (14)
и перейдя к пределу при . В этом случае интеграл (в квадратных скобках) превращается в функцию 
, а дискретная сумма – в интеграл:
(18)
Последнюю формулу называют обратным преобразованием Фурье, ее можно записать в виде 
