Теорема Гаусса в интегральной форме

Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем теории поля. Она гласит: поток вектора электрического смещения D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов q_св, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью

(39.6)

Так как  то.

(39.7)

Теорему Гаусса в интегральной форме можно использовать для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, чтобы все ее точки находились в одинаковых (симметричных) условиях по отношению к заряду.

Найдем напряженность поля, создаваемого точечным зарядом в точке, удаленной на расстояние R от заряда.

С этой целью проведем через заданную точку сферическую поверхность радиусом R, полагая, что заряд находится в центре сферы, и применим теорему Гаусса.

Элемент поверхности  перпендикулярен поверхности сферы и направлен в сторону внешней нормали. В данном примере в каждой точке сферы  и  совпадают по направлению, угол между ними равен нулю. Если учесть, что числовое значение  во всех точках сферы одно и тоже, то  можно вынести из под интеграла:

(39.8)

Отсюда

.

(39.9)

В силу сферической симметрии напряженность поля имеет только одну R -ю составляющую.

В сферической системе координат  откуда

.

(39.10)

Из выражений (39.9) и (39.10) видно, что напряженность электрического поля спадает обратно пропорционально квадрату расстояния, а потенциал обратно пропорционально расстоянию от заряда до заданной точки.