Метод контурных токов

Из схемы на рисунке 3.1,в наглядно видно, что

I ₅= I ₁= I ₂+ I ₃.

Кроме того, напряжение между точками 2 и 4

U ₂₄= I ₁ R _24.

Зная это напряжение, легко определить токи I ₂ и I ₃= I ₄:

I ₂= U ₂₄/ R ₂; I ₃= I ₄= U ₂₄/ R ₃₄.

Следует иметь в виду, что в некоторых электрических цепях резисторы могут быть включены не последовательно и не параллельно, а образовывать контуры, которые называют треугольниками сопротивлений. В этом случае свернуть схему до простейшей удается, применив преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную трехлучевую звезду. При этом сопротивления эквивалентной звезды (рис.3.2) могут быть пересчитаны через сопротивления треугольника при помощи формул:

 

 

 

;

(3.1)

 

Возможна и обратная замена трехлучевой звезды эквивалентным треугольником:

;

(3.2)

 

Метод контурных токов

При расчете цепи этим методом полагают, что в каждом независимом контуре электрической цепи течет свой контурный ток. Записывают уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов и, решая эти уравнения, находят контурные токи. Затем через контурные токи определяют действительные токи ветвей.

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме, изображенной на рисунке 3.3, в которой имеется два независимых контура.

Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правом (также по часовой стрелке) – контурный ток I₂₂.

 

 

                                       

 

 

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров. При этом учтем, что в смежной ветви (с резистором R₅) сверху вниз течет ток равный I₁₁-I₂₂. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для левого контура

.

Для правого контура

.

После элементарных преобразований получаем

I₁₁(R₁+R₂+R₅)+I₂₂(-R₅)=E₁+E₅;

I₁₁(-R₅)+I₂₂(R₃+R₄+R₅)=-E₄-E₅.

Рассмотрим коэффициенты при искомых токах.

В первом уравнении коэффициент при токе I₁₁ представляет собой сумму сопротивлений первого контура. Обозначим его R₁₁. Коэффициент при токе I₂₂ – сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус. Обозначим его R_12.

Аналогично, во втором уравнении коэффициент при токе I₁₁ представляет собой взятое со знаком минус сопротивление смежной ветви между вторым и первым контурами (R₂₁). Коэффициент при токе I₂₂ представляет собой суммарное сопротивление второго контура – R₂₂.

В правой части первого уравнения имеем контурную ЭДС первого контура E₁₁, а в правой части второго уравнения – контурную ЭДС второго контура – Е₂₂.

Перепишем исходные уравнения с учетом принятых обозначений:

(3.3)

Если в цепи имеется больше двух контуров, например, три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(3.4)

или в матричной форме

[ R ][ I ]=[ E ];

(3.5)

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например, по часовой стрелке.

Решение системы уравнений дает искомые контурные токи.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с резисторами R ₁, R ₂ схемы рис.3.3), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях действительные токи определяются через контурные. Например, в ветви с резистором R ₅ протекающий сверху вниз ток равен разности I ₁₁- I ₂₂.