Основные понятия комбинаторики. Случайные события. Виды событий

Размещения. Пусть имеется мно­жество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, со­держащее т элементов, называется размещением из п элементов по т эле­ментов.      

Из определения вытекает, что 0 ≤ т ≤n и что размещения из n элемен­тов по т — это все m-элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

Число размещений из n элементов по m элементов в каждом обозначают и вычисляют по формуле

Число размещений из n элементов по т элементов в каждом равно произ­ведению т последовательно убывающих натуральных чисел, из которых боль­шее есть п.

Для краткости произведение первых n натуральных чисел принято обоз­начать n! (n— факториал):

1 • 2 • 3 ... п = п!.

Условились считать, что 0! = 1.

Тогда формулу числа размещений из n элементов по m элементов можно

записать и в другом виде:

Пример 2. Сколькими способами собрание, состоящее из 30 человек, может выбрать из присутствующих президиум в составе председателя, сек­ретаря и члена президиума?

Решение. Состав президиума собрания является упорядоченным мно­жеством из 30 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по три элемента в каждом:

Перестановки. Размещения из n элементов по n элементов называ­ются перестановками из n элементов.

Из определения следует, что перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов мно­жества, то различные перестановки отличаются друг от друга только поряд­ком элементов.

Число перестановок из п элементов данного множества обозначаютP_n вычисляют по формуле

Пример 3. Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Решение. По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов:

P₄= 1 • 2 • 3 • 4 = 24,

т. е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повто­рений цифр).

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее т элементов, называется сочетанием из n элементов по m элементов.

Таким образом, сочетания из m элементов по n элементов — это все m- элементные подмножества, которые имеют одинаковый состав элементов. Под­множества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными.

Число подмножеств по m элементов в каждом, содержащихся во мно­жестве из n элементов, т. е. число сочетаний из n элементов по m элементов в каждом, обозначают и вычисляют по формуле

Число сочетаний  обладает свойством

Пример 4. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 5. В урне находятся 6 белых и 5 черных шаров. Из урны одно­временно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие A)?

Р е ш е н и е. Здесь число равновозможных независимых исходов составляет

Событию А благоприятствуют  исходов. Следовательно,

Пример 6. В партии из 20 изделий четыре бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий окажется два бракованных (событие B).

Р е ш е н и е. Здесь число равновозможных независимых исходов есть

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию B. Среди пяти взятых изделий окажется два бракованных и три стандартных. Два бракованных изделия из четырех можно выбрать  способами, а три стандартных изделия из 16 можно выбрать  способами. Каждая комбинация бракованных изделий может сочетаться с каждой комбинацией стандартных изделий, поэтому Следовательно,

Пример 7. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся постав­ленными рядом (событие С).

Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов есть n= P₉= 9!. Подсчитаем число исходов т, благоприятствующих событию С. Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе. Тогда эту связку можно расположить на полке Р₆ = 6! способами (связка плюс осталь­ные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять P₄= 4! спо­собами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каж­дым из Р₆ способов образования связки, т. е. т = Р₆ • Р₄, следовательно,

Случайные события. Теория вероятностей — это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.

Например, бросание монеты — испытание; появление герба или цифры — события

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не прои­зойти Слово „случайное" для краткости часто опускают и говорят просто „со­бытие". Например, выстрел по цели — это опыт, случайные события в этом опы­те— попадание в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непремен­но должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости — достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости — невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле — это несовместные события.

Несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении од­ного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему собы­тий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа — события одинаково возможные.