Формула полной вероятности

Вопрос.

Множество – любая совокупность объектов произвольной среды, каждый из которых называется, элементом

 

Подмножество – множество, которое является элементом другого множества

 

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам.

    Свойства:

                       1)

                       2)

                       3)

                       4)

 

Объединение – множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из всех рассматриваемых множеств.

    Свойства:

1)

                       2)

                       3)

                       4)

 

Разность множеств – множество, состоящее только элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Свойства:

1)

2)

3)

4)

5)

 

Дополнение – множество, состоящее из разности универсального множества и рассматриваемого.

    Свойства:

                       1)

                       2)

                       3)

 

Свойства математических операций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Мощность множества – количество элементов множества

 

Вопрос.

Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов

 

Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов

 

 

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов

 

Основная теорема комбинаторики:

    Пусть имеется k групп, причем в i-ой группе n_i элементов

    Выбираем по одному элементу из каждой группы, тогда число    способов, которыми это можно сделать вычисляется по формуле:

   

 

 

Вопрос.

Элементарный исход – каждый из возможных результатов испытания

 

Достоверное событие – событие, происходящее при любом исходе

 

Невозможное событие – событие, которое никогда не произойдет

 

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти в одном и том же испытании

 

События A и B называются совместными, если они могут произойти в одном и том же испытании

 

Суммой событий A и B называется событие C, состоящее из тех исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

 

Произведение событий A и B – событие состоящие из событий A и B одновременно.

 

Дополнением к событию A называется событие (Противоположное данному), которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

 

Вероятность события – функция, удовлетворяющая всем аксиомам:

1) Вероятность не отрицательна

2) Вероятность достоверного события равна единице

3) Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

 

Свойства:

1)

2)

3)

4)

Вопрос.

Формула классической вероятности:

    Пусть пространство элементарных исходов конечно и все исходы равновозможны

             

    Так как это полная группа несовместных событий, то

             

             

    Тогда:

             

             

    Таким образом, вероятность А:

             

        n – общее число исходов

              m – число благоприятных исходов

Геометрическая вероятность:

    Ω - некоторая область, имеющую меру:

   

    А – некоторая подобласть Ω

   

 

Метод Монте-Карло:

    Пусть требуется вычислить

     ,

    (a; b) – границы интегрирования

    с – максимальное значение функции,

    Тогда:

    , где w – вероятность попадания некоторой точки (x; y) в прямоугольник площадью [a; b] x [0; c]

    При проведении опыта с бросанием множества точек (при больших     значениях n), получаем

     

  Где n_a – количество попаданий в область А

 

Вывод формулы Симпсона:

    1)

 

  Рассмотрим для одного интервала,

    2) n=1,  

 

    Середина интервала:

    3)

 

Вынесем h (по формуле 2):

 

Подставим y₀  и y₁ (формула 1):

 

Преобразуем остаток при помощи формулы 3):

 

      

 

5 Вопрос:

Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло называется отношение вероятности произведения событий A и B к вероятности события А.

   

Два события независимы, если вероятность появления события A не меняет вероятности события В.

 

События A₁, A₂, A_n называются независимыми в совокупности, если они независимы попарно, по трое и т.д.

Формулы произведения вероятностей:

1)

2)

3)

4) Для обратного случая:

Формулы суммы вероятностей:

1)

2)

3)

4)

 

 

 

Вопрос.

Схема Бернулли:

Проводим опыт, в котором вероятность наступления события A равна p=P(A)

Определить вероятность того, что событие А появится m раз при повторении однотипного независимого опыта n раз.

 

 

Число m₀ называется наивероятнейшим числом наступления А в n испытаниях, если

  для любого m

 

 

Формула Пуассона используется, когда n – велико, а вероятность события стремится к нулю.

 

справедливо и при

Некоторые рекомендации по применению формулы:

1) При n=10 и

2) При n=100 и

3) При n=1000 и

 

Формулы Муавра-Лапласа используются, если n – велико, а p и q не близки к нулю.

 

Некоторые рекомендации по применению формулы:

1) При n=10 и

2) При n=100 и

3) При n=1000 и

 

 

 

Если выполняется условие применения формулы Муавра-Лапласа, то вероятность появления события A в n испытаниях от m₁ до m₂

 

 

Ф – интеграл Лапласа:

 

Причем:

 

 

Формула полной вероятности.

Одним из следствий совместного применения формул сложения и умножения вероятности – формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии наступления одного из событий , образующих полную группу несовместных событий

События попарно несовместны и в результате опыта происходит одно из них.

События  – будут гипотезами, и так как это полная группа, то

 

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:

   

Формула Байеса

 

 

Вопрос.

Закон больших чисел

Пусть производится n независимых испытаний (независимых) в которых событие A появилось m раз, причем вероятность появления события A в каждом испытании одинаково.

Обозначим:

     – относительная частота события A

Слабый закон больших чисел.

Относительная частота неограниченно приближается к вероятности события:

Для любого  выполняется:

 

Вопрос.

Случайная величина – функция, ставящая в соответствие число X=X()

 

Дискретная случайная величина – счетная или конечная

 

Непрерывная случайная величина – величина, принимающая значение из некоторого интервала.

 

Законом распределения непрерывной случайной величины называется таблица, состоящая из двух строк, в первой строке перечисляются всевозможные значения x, а во второй вероятности, с которыми она их принимает.

 

Математическое ожидание – сумма произведений ее значений на соответствующие вероятности:

   

Замечание: Пусть случайная величина приняла значение Х_k n_k раз в n испытаниях

Из законы больших чисел:

   

Тогда математическое ожидание равно среднему арифметическому наблюдаемых значений Х при больших n

 

 

Свойства:

1)

2)

3)

4)

 

Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

   , или же:

 

Свойства:

1)

2)

3)

4)

Среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии

 

Примечание:

    Для схемы Бернулли:

   

   

 

 

Вопрос.

Функция распределения – вероятность:

 

Свойства:
    1)

2)

3)

4)

5)

 

Плотностью распределения называется функция f(x) удовлетворяющая равенству:

Свойства:

1)

2)

3)

 

Математическое ожидание – интеграл вида:

   

Также это абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции постоянной плотности ограниченной функции f(x)

 

Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения величины Х от математического ожидания самой величины.

Замечание:

Свойства дисперсии сохраняются:

 

Среднеквадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии

 

 

 

Вопрос.

Геометрическое распределение, математическое ожидание:

При геометрическом распределении, мы рассматриваем появление события A в серии испытании. Поэтому закон распределения будет иметь вид:

X	1	2	3	4	5	n
P	p	qp	q2p	q3p	q4p	qn-1p

В связи с этим математическое ожидание:

   

Разложим числовые коэффициенты на подобные члены:

   

Получаем бесконечное число геометрических прогрессий

(А так как сумма прогрессии равна: )

   

   

 

Функция надежности:

Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения:

Обратная ей функция – функция надежности:

 

 

Вопрос.

Дискретная двумерная случайная величина – случайная величина возможные значения которой есть пары чисел (x; y), которые являются дискретными величинами.

 

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называется перечень возможных ее значений и вероятностей, с которыми она их принимает.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих: