Кронекер – Капелли теоремасы. 6 страница

Леонтьевтің өнімділік моделі

Егерде барлық элементтері теріс емес кез келген векторы үшін (1.7) теңдеуінің барлық элементтері теріс емес шешімі бар болса, онда барлық элементтері теріс емес А матрицасы өнімділік матрицасы деп аталады.

(1.7) түріндегі теңдеулер үшін оның шешімдерін және олардың қасиеттерін зерттейтін математикалық теория құрылған. Осы теорияның кейбір негізгі элементтерін көрсетейік. Матрицаның өнімділігін анықтайтын маңызды теореманы дәлелдеусіз келтіреміз.

4.1 теорема. Егер барлық элементтері теріс емес А матрицасы мен барлық компоненттері теріс емес бір векторы үшін (1.7) теңдеуінің барлық компоненттері нөлге тең емес шешімі бар болса, онда А матрицасы өнімді болады.

Басқа сөзбен айтқанда, А матрицасының өнімділігін көрсету үшін ең болмағанда бір оң векторы үшін (1.7) теңдеуінің оң шешімі (барлық комоненттері теріс емес век торы) бар екендігін дәлелдеу керек. (1.7) теңдеуін бірлік Е матрицасын қолдану арқылы басқаалай жазамыз:

(Е - А) = (1.8)

Егер (Е –А)^-1 кері матрицасы бар болса, онда (1.8) теңдеуінің шешімі бар және ол тек біреу болады:

= (Е –А)^-1 (1.9)

(Е –А)^-1 матрицасы толық шығын матрицасы деп аталады.

А матрицасының өнімділігін анықтайтын бірнеше баламалар (критерий) бар. Олардың екеуін келтіреміз.

Өнімділіктің бірінші баламасы. А матрицасының өнімді болуы үшін (Е –А)^-1 матрицасының бар болуы және оның элементтерінің теріс емес болуы қажетті және жеткілікті.

Өнімділіктің екінші баламасы. Егер барлық элементтері теріс емес а матрицасының кез келген тік жолы мен жатық жолы элементтерінің қосындысы бірден артпаса, яғни

немесе

Болса және ең болмағанда тек (жатық) жол үшін бұл қосынды бірден кіші болса, онда А матрицасы өнімді болады.

Леонтьев моделінің қолданылуын қарапайым мысалдармен көрсетейік.

1.7-тапсырма. Бір уақыт аралығындағы өнеркәсіптің 5 саласының арасмындағы баланстың дерктері кестемен берілген:

№ р/с	Сала	Пайдалану 1 2 3 4 5					Соңғы жұмсалыс өнімі	Жалпы өнім
1	Станок жасау	10	8	15	14	1	1 30	50
2	Энергетика	5	2	20	10		8 10	50
3	Машина жасау	5	3	10	5		5 5	100
4	Автомобиль өнеркәсібі	5	3	10	3	0	1 15	100
5	Көміртегі өндірісі және оның өңделуі	3	10	15	10		3 40	100

Соңғы жұмасалыс және жалпы шығаратын өнім векторларын, тура шығын кэффициенттерінің матрицасын табу керек және тура шығын коэффициенттерінің матрицасы өнімділігін анықтау керек.

Шешу. Таблицадағы деректер (1.3) қатынастарына сәйкес берілген: х_ij –алғашқы 5 тік жол, у_і –алтыншы тік жол, х_і –соңғы тік жол (і, j = 1, 2,..., n). (1.4) және (1.6) формулалары бойынша

= = А =

А матрицасыныі барлық элементтері оң, бірақ үшінші тік жолдың элементтерінің қосындысы бірден үлкен. Сондықтан матрица өнімділігінің екінші балмасының шарттары орындалмай отыр, демек, А матрицасы өнімді емес. Бұл өнімсіздіктің экономикалық себебі: үшінші саланың ішкі сұранысы жалпы өнімге қарағанда тым үлкен болып отыр.

1.8 тапсырма. Бір уақыт аралығындағы үш саланың арасындағы баланстың деректері кестеде берілген:

№ р/с	Сала	Пайдалану			Соңғы жұмсалыс өнімі	Жалпы өнім
№ р/с	Сала	1	2	3	Соңғы жұмсалыс өнімі	Жалпы өнім
1	Сутектерін өндіру және өңдеу	15	25	10	50	100
2	Энергетика	10	10	20	20	50
3	Машина жасау	20	10	20	60	100

Соңғы жұмсалыс өнімі өндіріс салалары бойынша 60, 30 және 70-ке дейін өскенде жалпы өнімнің мөлшерін табу керек.

Шешуі. Жалпы және соңғы жұмсалыс өнімі векторларын, тура шығын коэффициенттерінің матрицасын құрамыз. (1.4) және (1.6) формулалары бойынша

= = А =

А матрицасының өнімділік баламасының шарттамрын қанағаттандырады. Есептің шарты бойынша соңғы жұмсалыс өнімі векторы

= түрінде жазылады.

А матрицасы өзгермеген жағдайда баланстық қатынастарды қанағаттандыратын жаңа векторының компоненттері х₁, х₂, х₃

х₁ = 0,15х₁ + 0,25х₂ + 0,1х₃ +60

х₂ = 0,2х₁ + 0,2х₂ + 0,4х₃ +30

х₃ = 0,2х₁ + 0,1х₂ + 0,2х₃ +70

жүйесінен табылады.

Бұл жүйе матрицалық түрде былай жазылады:

= А + немесе (Е - А) =

Мұнда

Е - А =

Осы теңдеуден (Е - А)^-1 = формуласы шығады. (Е - А)^-1 –толық шығын матрицасын табамыз:

= 0,432 0,

(Е - А)^-1 =

Табылған кері матрица өнімділіктің бірінші баламасының шарттарын қанағаттандырады.

Енді жалпы өнім векторы ты табамыз:

= =

Соңғы қатынастан векторын үшінші таңбаға дейінгі дәлдікпен табамыз:

Сонымен, соңғы жұмсалыс өнімінің берілген өсуін қамтамасыз ету үшін жалпы өнімді өсіру керек, дәлірек айтсақ, алғашқы деректерге қарағанда көміртектерін 23,8 -ке, энергетиканың көлемін 77,6 -ке, ал машина жасау саласының өнімдерін 36,4 -ке өсіру керек.

4.3 Сауда саласының сызықтық моделі

Тауарларды алып-сату жүйесін талдау үшін матрицаның меншікті мәні ұғымдары қолданылады. n елдің бюджеттері х₁, х₂,...., х_n және олар тек тауар сатып алуға жұмсалатын болсын. Сауданың сызықтық моделін немесе халықаралық сатып алу морделін қараймыз.

a_ij – j-інші елдің х_j бюджетіне і-інші елден сатып алатын тауарға бөлген қоры болсын. a_ij коэффициенттерінің матрицасын құрамыз:

А = (1.10)

Егер елдің барлық бюджеті тек ішкі және сыртқы тауарларды сатып алуға ғана жұмсалатын болса (сауда бюджеті), онда

= 1, j = 1, 2,..., n (1.11)

теңдігі орындалады.

Кез келген тік жол элементтерінің қосындысы бірге тең (1.11) матрицасы сауданың құрылымдық матрицасы деп аталады. і-інші елдің ішкі және сыртқы саудадан кірісі

Р_і = a_i1x₁ + a_i2x₂ +... + a_inx_n (1.12) формуласымен анықталады.

Баланстанған (дефицитсіз) сауданың шарты табиғи түрде қойылады: Әрбір елдің бюджеті оның саудадан түскен кірісінен артық болмау керек, яғни Р_і х_і немесе

a_i1x₁ + a_i2x₂ +... + a_inx_n х_і, і = 1, 2,..., n (1.13) болу керек.

(1.13) –інші шартта теңсіздік белгісінің орындалмайтындығын көрсетелік. Ол үшін (1.13) теңсіздіктерін оң жақтарын оң жақтарымен, сол жақтарын сол жақтарымен қосамыз. Сонан соң х_j бар мүшелерді біріктіріп жазамыз:

х₁(а₁₁ + а₂₁ +... + а_n1) + х₂(а₁₂ + а₂₂ +... + а_n₂) +... + х_n(а₁_n + а₂_n +... + а_nn) х₁ + х₂ +... + х_n

(1.11) формуласы бойынша жақшаалардың ішіндегі қосындылар бірге тең. Сондықтан

х₁ + х₂ +... + х_n х₁ + х₂ +... + х_n

Бұл теңсіздіктен (1.13) формулаларында тек теңдіктердің ғана орындалатыны шығады. Сонымен (1.13) шарты

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +... + а₁_nх_n = х₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ +... + а₂_nх_n = х₂ (1.14)

.............................................

а_n₁х₁ + а_n₂х₂ +... + а_nnх_n = х_n

түрінде жазылады. Әрбір компоненті сәйкес елдің бюджетін сипаттайтын бюджеттер векторы -ты енгіземіз. Сонда (1.14) жүйесін матрицалық түрде жазуға болады.:

А = (1.15)

Бұл теңдеуден 1 меншіктімәніне сәйкес А құрылымдық матрицасының меншікті векторы дефицитсіз халықаралық саудасы бар елдердің бюджеттерінен тұратындығы шығады. (1.15) теңдеуін ыңғайлы түрде жазамыз

(А –Е) = 0 (1.16)

1-9 тапсырма. 4 ел саудасының құрылымдық матрицасы

А =

және олардың бюджеттерінің қосындысы

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 6400 (1.17)

берілсін. Дефицитсіз сауда болу үшін осы елдердің бюджеттері қандай болады.

Шешуі. 1 меншікті мәніне сәйкес құқрылымдық а матрицасының меншікті векторын табу үшін (1.16) теңдеуін шешу керек:

Бұл жүйенің рангісі үшке тең болғандықтан белгісіздердің біреуі бос белгісіз болады да, қалғандары сол арқылы өрнектеледі. Жүйені Гаусс әдісімен шешу арқылы векторының компоненттерін табамыз:

х₁ = С, х₂ = С, х₃ = С, х₄ = С.

Табылған белгісіздердің мәндерін (1.17) теңдеуіне қойып С параметрінің мәнін табамыз:

С = 1600.

Сонымен дефицитсіз саудада елдердің іздеп отырған бюджеттері

х₁ = 1600, х₂ = 1600, х₃ = 1600, х₄ = 1600

болады екен.

Сызықтық алгебра элементтерінің экономикада қолданылуы

Сызықтық теңдеулер жүйесі арқылы шығатын экономикалық есеп қараймыз.

1-5 тапсырма. Өнеркәсіп үш түрлі шикізатты пайдаланып үш түрлі бұйым шығарады. Керекті өндірістік көрсеткіштер төмендегі кестеде берілген.

Шикізат түрі	Әр өнімге жұмсалатын шикізаттардың мөлшері салмақ бірлігі/өнім			Шикізат қоры салмақ қоры
1	5	3	4	2700
2	2	1	1	900
3	3	2	2	1600

Өнеркәсіптің шикізат қорына байланысты әрбір бұйымның жасалу мөлшерін табу керек. Осындай түрдегі есептер өнеркәсіп өндірісінің өсу жолын болжағанда және бағалағанда, пайдалы қазбаларды өндіру болжамын жасағанда және өнеркәсіптің микроэкономикалық болжамын құрғанда кездеседі.

Шешуі: Жасалынатын бұйымдардың сандарын х₁, х₂ және х₃ –пен белгілейміз.

Сонда шикізат қоры тұтас жұмсалады деп есептесек, баланстық қатынас былай жазылады:

5х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 2700

2х₁ + х₂ + х₃ = 900

3х₁ + 2х₂ + 2х₃ = 1600

Бұл жүйені кез келген жолмен шешу арқылы, бар шикізат қорын тұтас пайдаланғанда жасалатын бұйымдардың сандары х₁ = 200, х₂ = 300, х₃ = 200 болатынын көреміз.

Әдебиеттер тізімі.

Негізгі әдебиеттер:

1. Экономистерге арналған жоғары математика. Н.Ш.Кремер редакциясы, М.,1997ж.

2. Д. Письменный Жоғары математика бойынша лекциялар конспектісі, 1 бөлім, Москва, 2004 ж.

3. Г.Н. Яковлев Математика для техникумов, 2 бөлім, М., 1978ж.

4. А.П. Рябушко Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, Минск, 1990 ж.

5. Жоғары математика бойынша бақылау жұмыстары.

Қосымша әдебиеттер:

1.Ә.Түнғатаров Жоғары математика (Экономикалық мамандықтарға арналған курсы) І бөлім, Алматы, 2004ж.

2. Н.Ш. Крамер Жоғары математика бойынша практикум, М., 2005 ж.

3. Шипачев В.М. Жоғары математика, т.1,2. М.,1985ж.

4. А.Н. Колесников Краткий курс математики для экономистов, 1997 ж.

5. А.Қ.Казешев, С.А.Нұрпейсов Экономистерге арналған математика, Экономика баспасы, Алматы 2008ж.

Лекция-4. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері: Екі нүктенің арасындағы ара қашықтық, үшбұрыштың ауданын есептеу, кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Сызықтың теңдеуі туралы түсінік. Жазықтықтағы түзудің теңдеуі және оның түрлері.

Берілген тәртіпте нөмірленген өзара перпендикуляр екі осьте ұзындықты өлшеу үшін декарттық координата жүйесінде берілген сызықтық бірлік анықталынады.

Осьтердің қиылысу нүктелері, , координата басы деп аталады, ал осьтер - ОХ- абсцисса осі және ОУ- ордината осі. Нүктенің координатсы сур.1.