Кронекер – Капелли теоремасы. 7 страница

3. Үшбұрыштың ауданын есептеу. Бір түзуде жатпайтын үш нүктелері берілсін. АВС үшбұрыштың ауданын анықтайтын формуланы шығарайық. АВ және АС кесінділері арасындағы бұрышты және олардын ұзындықтарын сәйкес d және d₁ арқылы белгілейміз. Онда АВС үшбұрыштын ауданы формуласымен анықталады.

Осы формулада (3-сурет)

Олай болса формуласынан табамыз

В₁

Онда немесе (2.6)

Төбелерінің координаталары берілген үшбұрыштын ауданы (2.6) формуласы бойынша анықталады.

Мысал: Үшбұрыштың төбелері берілсін . АВС үшбұрышының ауданын табу керек.

Шешімі: Мұнда . (2.6) формуласын қолданып табамыз:

Мысалы-3: нүктелері берілген. АВС үшбұрышының ауданын тап.

Шешуі: Формула бойынша:

Анықтама: Түзу – х, у айнымалыларына байланысты координаталары бірінші дәрежелі теңдеуді қанағаттандыратын, жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орны болып табылады.

Берілген сызықтың кез келген нүктесінің координаттары х пен у қанағаттандыратын, ал сызықтың бойында жатпайтын кез келген нүктенің координаттары қанағаттандырмайтындай теңдеуді осы сызықтың теңдеуі деп аталады.

Жалпы сызықтың теңдеуі: F(х,у) = 0 немесе у = f(х) түрінде жазылады

1. Бұрыштық коэффициенті бар түзу теңдеуі.

Түзу сызықтың теңдеуін құру үшін ол сызықтың координат жүйесінде қалай орналасқан туралы белгілі бір шарттары болуы керек. Айталық ОХ осіне түзу сызық бұрышын құрсын және ол ОУ осінде А(о,в) нүктесінде қиылысады.

k=tg осы түзудің бұрыштық

коэффициенті. Түзу сызық В және М

y С(х,у) нүктелерінен өтеді.

у АВС ұшбұрыштан (8 – сурет)

осы өрнектен шығады

у-в

А в В

0 х X

Шығарылған (2.17) теңдеуді бұрыштық коэфициенті бар түзу сызықтың теңдеуі деп атайды. Егер в=0 болса, түзу координат басы арқылы өтеді.

2. Бір нүкте арқылы берілген бағытта өтетін түзудің теңдеуі.

Айталық, түзу сызықта жататын нүкте берілсін және түзу сызықтың ОХ осіне көлбеу бұрышы ға тең. Түзу сызықта бір айнымалы координаталары бар М(х,у) нүктесін алайық, түзу сызық нүктеден өтетін болғандықтан, оның координаталары (2.17) теңдеуді қанағаттандырады осыдан

Табылған b – мәнін (2.17) теңдеуге қоямыз, сонда (2.18) теңдеуі шығады. (2.18) теңдеуді бір нүкте арқылы берілген бағытта өтетін теңдеу деп атайды.

Мысал: ОХ осіне көлбеу бұрышы және (-5;6) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазайық

Шешімі. Мұнда теңдеуін қолданып не болмаса теңдеуі шығады.

3. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Айталық жазықтықта екі және нүктелері берілсін. Осы екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрайық. Ол үшін (2.18) теңдеуін қолданайық, сонда нүкте арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін аламыз

Түзу нүкте арқылы өтетін болғандықтан, осы нүктенің координаталары жоғарыдағы теңдеуді қанағатандырады. Сондықтан осыдан -мәнін теңдеуге қойғанда теңдеуді анықтаймыз.

формуласын екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі деп айтады.

Мысал. және нүктелерден өтетін түзу сызықтың теңдеуін жазыңыз.

Шешімі. Мұндағы теңдеуге қалып не болмаса

Кесінді арқылы берілген түзудің теңдеуі. Түзудің Ах+Ву+С=0 жалпы теңдеуі берілсін, мұнда А≠0, В≠0, С≠ 0. Осы теңдеуден Ах+Ву=-С немесе немесе

(2.27) кесінді арқылы берілген теңдеу деп аталады. Мұндағы а= сандары түзудің сәйкес ОХ және ОУ координаталар осьтерін қиятын кесінділер шамалары.

Мысал. Айталық 3х+5у-15=0 түзудің теңдеуі берілсін. Кесінді арқылы берілген теңдеудің түріне келтіру керек және оның графигін салыңыз Шешімі: Берілген теңдеуден табамыз 3х+5у=15.

у Осы теңдеудің екі жағында 15 бөлеміз.

3 онда

10 -шы сурет

Мұндағы а=5 =3 сәйкес ОХ және ОУ остеріндегі берілген түзудің қиған кесінділерінің (10-сурет) шамалары.

Жазықтықтағы екі түзудін арасындағы бұрыш. Параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Жазықтықтағы жатқан бұрыштық коэфициент арқылы берілген түзулерді қарастырайық. Олардың арасындағы бұрыш -ға тең,ал әр біреуінің Ох өсінің оң бағытымен жасалатын бұрыштары және болсын (9-сурет).Онда болады.

Енді осы бұрышқа айырманың

тангенсін пайдаланып,

теңдігін аламыз.

Мұнда

болғандықтан

(2.22) формула жазықтықта берілген кез келген екі түзу арасындағы тангенсін анықтайды. Осы теңдеуді шешу бұрышын табамыз.

Енді екі (2.21) түзулер өзара параллель бөлу үшін, олардың арасындағы бұрыш бөлу керек. Ендеше , онда бөлшегінің алымы нөлге тең болуы керек, яғни немесе (2.23). Егер екі түзу өзара перпендикуляр болса, яғни , онда

екі түзудің параллельдік және перпендикулярлық шарты деп аталады.

Мысал: және түзулерінің арасындағы бұрышты табыңдар.

Шешімі: онда формуланы қолданып осыдан болады.

Мысал: 2х-3у+1=0 түзуге параллель және М(1:2) нүктеден өтетін түзу сызықтың теңдеуін құрыңыз.

Шешімі: Ізделінген теңдеуді (2.18) теңдеу түрінде жазамыз

Берілген теңдеуден параллельдік шарт арқылы бұрыштық коэфициентті табамыз және мұнда . Осыдан не болмаса 2х-3у+4=0.

Мысал: М(- 1:1) нүктеден өтетін және 3х-у+2=0 түзуге перпендикуляр болатын түзу сызықтың теңдеуін жазыңыз.

Шешімі: Берілген түзудің бұрыштық коэфициентті Перпендикулярдық шарт (2.24) арқылы екенін табамыз. Және мұнда , онда ізделген теңдеу немесе болады.

Түзудің қалыпты (нормальдық) теңдеуі. Нүкте мен түзудің ара қашықтықтығы.

Айталық АВ түзу сызығы берілсін, Бас нүкте арқылы, АВ-ға перпендикуляр N түзуін өткізейік..АВ мен N қилысу нүктесін - белгілейміз (11-сурет)

векторымен

ОХ арасындағы бұрыш - тең

болсын. белгілі деп,

АВ түзуінің теңдеуін құру

керек. Осы түзуде кез келген М(х;у)

нүктесін алайық

Мұнда деп белгілеп ұшбұрышынан табамыз , немесе .

(2.34) формуласын жіктеп және екенін ескере отырып шығарамыз:

Осы (2.35) анықталған АВ түзудің теңдеуін қалыпты (нормальдық) теңдеу дейді.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

- нормальдің полярлық бұрышы, - бас нүктеден АВ түзуіне дейінгі қашықтығы. АВ түзуінен тыс жатқан нүкте болсын. АВ түзуінен нүктесіне дейінгі қашықтығын d деп белгілейік (11 сурет)

сондықтан

(2.36) формуласы нүктесі мен АВ түзуінің ара қашықтығын анықтайтын формула. Сондықтан кез келген нүктеден АВ түзуіне дейін қашықтықты табу үшін нүктенің координаталарын түзудің қалыпты (2.35) теңдеуіне қойып абсолют шамасын алу керек.

Айталық бір түзу жалпы және қалыпты теңдеулер түрінде берілсін. және .Осы теңдеулер бір түзуді анықтағандықтан олардың айнымалылары х,у алдында тұрған сәйкес коэффициенттері өз ара пропорционал болуы керек, яғни Бұдан - санын қалыптаушы көбейткіш деп атайды. Қалыптаушы көбейткіш алдындағы таңбаны таңдау үшін (2.36) формулалардың үшінші теңдігін қолданамыз. оң сан болғандықтан таңбасын жалпы теңдеудің бос мүшесінің таңбасына теріс таңба қылып аламыз. Егер , онда , ал болса, онда болады. Қортып айтқанда жалпы теңдеуді қалыпты теңдеуге айналдыру үшін оны қалыптауыш көбейткішке көбейту керек, яғни .

нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық формуласымен анықталады.

Мысал. нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтықты анықтаңыз.

Шешімі: Мұнда . Берілген теңдеуді қалыпты (2.37) түріне келтіреміз: , ал ара қашықтықты анықтау үшін (2.38) формуласын қолданамыз: .

Мысал: нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтықты анықтаңыз.

Шешімі: Формула бойынша:

Түзулер шоғының теңдеуі. Жазықтықта нүктеден өтетін түзу сызықтар жиынтығын түзу сызықтар шоғы деп атайды. нүктеден өтетін екі түзудің теңдеулері берілсін . Осыдан теңдеуін құрамыз. Осы теңдеуді нүктенің координаталары қанағаттандырғандықтан, бұл түзу нүктеден өтеді. Сондықтан -ға нольге тең емес әр шамаларды берсе, онда (2.39) нүктеден өтетін түзулер шоғының теңдеуін анықтайды.

Мысал. Айталық екі түзу берілсін . Осы екі түзудің қиылысу нүктесінен және түзуіне перпендикуляр болатын түзудің теңдеуін құру керек.

Шешімі: (2.39) теңдеуді пайдаланып қиылысу нүктесінен өтетін түзулер шоғының теңдеуін жазамыз. Осыдан . Екі түзудің перпендикулярлық (2.33) шартын қолданып . -ны табамыз, яғни