Вариационные ряды распределения

сточный вода загрязняющий моделирование

В реальных системах ПТС обычно нельзя проводить активные эксперименты, поэтому данные обычно представляют собой наблюдения за происходящим процессом, например: курс валюты на бирже в течение месяца, урожайность пшеницы в хозяйстве за 30 лет, производительность труда рабочих за смену и т. д. Результаты наблюдений - это, в общем случае, ряд чисел, расположенных в беспорядке, который для изучения необходимо упорядочить (проранжировать).

Операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию, называется ранжированием опытных данных.

После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и тожезначение, которое называется вариантом (). Число элементов в каждой группе называется частотой варианта (n_i).

Размахом вариации называется число W=x_max – x_min, где x_max - наибольший вариант, x_min - наименьший вариант.

Сумма всех частот равна определенному числу n, которое называется объемом совокупности:

 

 (1.1)

 

Отношение частоты данного варианта к объему совокупности называется относительной частотой (), или частностью этого варианта:

 

 (1.2)

(1.3)

 

Последовательность вариантов; расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом (вариация — изменение).

Вариационные ряды бывают дискретными и непрерывными. Дискретным вариационным рядом называется ранжированная последовательность вариантов с соответствующими частотами и (или) частностями.

 

Проверка статистических гипотез

 

Статистической гипотезой называется всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Статистические гипотезы делятся на:

1. параметрические - это гипотезы, сформулированные относительно параметров (среднего значения, дисперсии и т. д.) распределения известного вида;

2. непараметрические - это гипотезы, сформулированные относительно вида распределения (например, определение по выборке степени нормальности генеральной совокупности). Процесс использования выборки для проверки гипотезы называется статистическим доказательством. Основную выдвигаемую гипотезу называют нулевой Но. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную ей H1. Например, Н0: М(х)=1, математическое ожидание генеральной совокупности равно 1; H1: M(x)>1, или М(х)<1, или М(х) 1 (математическое ожидание больше 1, или меньше 1, или не равно 1).

Выбор между гипотезами Но и H1 может сопровождаться ошибками двух родов. Ошибка первого рода . означает вероятность принятия H1, если верна гипотеза Н0: . Ошибка второго рода означает вероятность принятия Но, если верна гипотеза H1:

 

.

 

Существует правильное решение двух видов:

 

 и  (табл.7).

 

Таблица 1 Ошибки первого и второго родов

Принятая гипотеза	Но	Н1
Но - верна
Но – не верна

Правило, по которому принимается решение о том, верна или не верна гипотеза Но, называется критерием, где:

 

 -уровень значимости критерия;

М= -мощность критерия.

 

Статистическим критерием «К» называют случайную величину, с помощью которой принимают решение о принятии или отклонении Но.

Замечание. Для проверки параметрических гипотез используют критерии значимости, основанные на статистиках u,  t, F. Непараметрические гипотезы проверяют с помощью критериев согласия, использующих статистики распределений:  Колмогорова-Смирнова и т.д.

Например, Но: M(x)=10. В зависимости от альтернативной гипотезы рассматривают три случая:

1.Если Н1: M(x) 10.

 

 

В этом случае рассматривают двустороннюю критическую область и используют дифференциальную функцию f(K/H0), для определения соответствующих квантилей (границ области принятия гипотезы - левой (К ) и правой (К ))- Площадь под криволинейной трапецией дифференциальной функции слева от K и справа от К равна . Общая площадь ограниченная криволинейной трапецией дифференциальной функции, квантилями и осью абсцисс, равна(1 -α):

2. Если Н1: M(x)> 10, то рассматривается правосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией справа от К равна );

 

(1.4)

 

 

 

Рис.2. Правосторонняя критическая область

 

3. Если Н1: M(x)< 10, то рассматривается левосторонняя критическая область (площадь под криволинейной трапецией слева от К равна ):

 

 (1.5)

 

Рис. 3. Левосторонняя критическая область

Алгоритм проверки статистических гипотез

Располагая выборочными данными (х₁,х₂,...,х_n), формируют нулевую гипотезу h₀ и конкурирующую гипотезу H₁.

1. Задают уровень значимости  (обычно принимают  =0,1; 0,01; 0,05; 0,001).

2. Рассматривается выборочная статистика наблюдений (критерий) К, обычно одна из перечисленных ниже:

u - нормальное распределение;

 - распределение Пирсона (хи - квадрат);

t - распределение Стьюдента;

F - распределение Фишера - Снедекора.

4. На основании выборки (х₁,х₂,...,х_n) - определяют значение критерия (статистики) К (приложения 5-7) В зависимости от вида альтернативной гипотезы выбирают по соответствующей таблице квантили критерия для двусторонней (K и К  ) или односторонней области (K  или К  ). Если значения критерия попадают в критическую область, то Н_о отвергается; в противном случае принимается гипотеза Н_о и считается, что Н_о не противоречит выборочным данным (при этом существует возможность ошибки с вероятностью, равной ).

Замечание. Следует отметить, что возможность принятия гипотезы происходит из принципа невозможности наступления маловероятных событий. Те же события, вероятность которых близка к 1, принимаются за достоверные. Возникает проблема выбора уровня риска (уровня значимости ).

В одних случаях возможно пренебрегать событиями р<0,05, в других -нельзя пренебрегать событиями, которые могут появиться с р=0,001 (разрушение сооружений, транспортных средств и т. д.).

 

Цель работы

 

Сформулировать и проверить статистические гипотезы,на основании которых можно выяснить:

- можно или нет двум предприятиям разрешить сброс сточных вод?

- одинакова ли квалификация обоих лаборантов (то есть, отличаются ли у них значимо результаты анализов)?

- сколько образцов достаточно брать для испытаний на, первом и втором предприятиях?

Актуальность построения математической модели состоит в том, что изменение качества водного объекта ведёт к сильным изменениям среды. Оно может произойти из-за некоего антропогенного воздействия, как правило, негативного. Такими воздействиями могут являться сбросы сточных вод. При существующей безнаказанности и безответственности некоторых руководителей промышленных предприятий очень важно уметь правильно определить изменение состояния, а соответственно индексы показателей качества воды при залповом сбросе сточных вод для дальнейшего взыскания экологических штрафов за превышение допустимых показателей и несанкционированный сброс. При аварийных сбросах также важно оценить катастрофичность ситуации.