Наиболее употребляемыми в математической физике интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа, Фурье и Меллинга.
Пусть функция определена на полуоси . Ее преобразованием Лапласа называется функция
.(4)
Теорема 3. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при и удовлетворяет оценке
(5)
Тогда ее преобразование Лапласа есть функция, регулярная в полуплоскости .
Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть . Тогда
.
Так как сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (4) сходится равномерно по при и функция регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольности функция регулярна при .
Преобразованием Фурье функции определенной на действительной оси, называется функция
(6)
Теорема 4. [7, c.113] Пусть функция непрерывна при и удовлетворяет оценкам
, (7)
где . Тогда ее преобразование Фурье есть функция, регулярная в полосе .
Доказательство. Разобьем интеграл (6) на два интеграла:
|
|
.
В силу условия (7) и теоремы 3 функция регулярна в полуплоскости , а функция - в полуплоскости , что и доказывает теорему.
В частности, если функция финитна, т.е. при , и непрерывна при , то ее преобразование Фурье является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку в этом случае
.
Преобразованием Меллина функции , определенной на полуоси , называется функция
(8)
Здесь .
Теорема 5. [7, c.114] Пусть функция непрерывна при и удовлетворяет оценкам:
, (9)
где . Тогда ее преобразование Меллина является функцией, регулярной в полосе .
Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два интеграла
.
Пусть , и ; тогда
.
Так как сходится при , то, по признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно по при . В силу следствия 2 функция регулярна в полуплоскости .
Далее, при , и имеем
Из сходимости интеграла и следствия 1 вытекает, что функция регулярна в полуплоскости .
Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соотношением:
, (10)
где - преобразование Меллина, а - преобразование Фурье функции . Действительно, делая замену переменной , получаем
(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний интеграл совпадает с правой частью формулы (10).
В частности, с помощью соотношения (10) можно вывести теорему 5 из теоремы 4.