2020-01-14
401
Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции 
, аналитической в некоторой области 
, ограниченной контуром 
, и непрерывной в замкнутой области 
, во внутренних точках этой области моет быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:
.(17)
Рассмотрим в области некоторую замкнутую подобласть , расстояние всех точек которой от границы 
области больше некоторого положительного числа 
. Функция
является аналитической функцией 
в области 
причем ее частная производная 
в этой области является непрерывной функцией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области производная 
может быть представлена в виде
(18)
Интеграл (18) является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (17). Следовательно, является аналитической функцией в области причем для ее производной справедлива формула
.(19)
Так как для любой внутренней точки области 
может быть построена соответствующая замкнутая подобласть то формулы (18) и (19) справедливы в любой точке . Имеет место и более общая теорема.
Теорема 7. [6, c.58] Пусть функция является аналитической в области и непрерывной в замкнутой области . Тогда во внутренних точках области существует производная любого порядка функции 
, причем для нее имеет место формула
(20)
Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз. Итак, если функция 
является аналитической функцией в области , то в этой области функция обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных.
Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной.
Теорема 8(Морера). [6, c.59] Пусть функция является непрерывной в односвязной области 
и интеграл от по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему 
, равен нулю. Тогда является аналитической функцией в области .
Доказательство. Было доказано, что при условиях теоремы функция
,
где 
, - произвольные точки области , а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области , является аналитической в этой области функцией, причем 
. Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывная производная функции 
, а именно функция 
, что и доказывает теорему.
Отметим, что теорема 1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на многосвязные области.
Теорема 9(Лиувилля). [6, c.59] Пусть на всей комплексной плоскости функция является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция 
тождественно равна постоянной.
Доказательство. Запишем значение производной 
в произвольной точке 
по формуле (18):
,
причем будем вести по окружности некоторого радиуса 
с центром в точке 
. т.е. 
. По условию теоремы существует такая константа 
, что 
независимо от 
. Поэтому
.
Так как радиус можно выбрать сколь угодно большим, а 
не зависит от , то 
. В силу произвольности выбора точки 
заключаем, что 
на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что 
.
Вывод формулы Коши
Пусть функция является аналитической в односвязной области 
, ограниченной контуром 
. Возьмем произвольную внутреннюю точку 
и построим замкнутый контур 
, целиком лежащий в 
и содержащий точку внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию
(21)
Функция 
, очевидно, является аналитической функцией всюду в области 
, за исключением точки 
. Поэтому, если мы в области 
возьмем такой замкнутый контур 
, лежащий внутри 
, чтобы точка попала внутрь области, ограниченной контуром , то функция будет аналитической в двухсвязной области 
, заключенной между контурами и . Согласно теореме Коши интеграл от функции по кривой 
равен нулю:
Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде
(22)
Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура 
то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность 
некоторого радиуса 
с центром в точке (Рис. 1). Положив 
,имеем.
Последний интеграл преобразуем следующим образом:
(23)
Устремим теперь к нулю. Так как - аналитическая, а следовательно, непрерывная функция в области 
, то для любого положительного числа 
можно указать такое значение , что 
для 
. Отсюда следует, что при 
существует предел
Так как в формуле (23) последнее слагаемое не зависит от 
то
, а следовательно 
и согласно (22)
(24)
Интеграл, стоящий в правой части, выражает значение аналитической функции в некоторой точке через ее значения на любом контуре 
, лежащем в области аналитичности функции и содержащем точку внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (24) часто называется формулой Коши.
Замечание 1. В формуле (24) интегрирование производится по замкнутому контуру , целиком лежащему в области аналитичности функции 
и содержащему внутри точку . При дополнительном условии непрерывности в замкнутой области 
аналогичная формула имеет место в силу теоремы 6 (стр. 56) и при интегрировании по границе области 
.
Замечание 2. Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области . При этом для вывода основной формулы (24) следует рассматривать такой замкнутый контур , который может быть стянут к точке , все время оставаясь в области . Тогда легко показать, что при условии непрерывности функции в замкнутой области 
с кусочно-гладкой границей формула (24) остается справедливой при интегрировании в положительном направлении по полной границе данной многосвязной области.
