Следствия из формулы Коши

Сделаем ряд замечаний по поводу формулы (24).

1. Интеграл вида по замкнутому контуру целиком лежащему в области аналитичности функции , имеет смысл для любого положения точки на комплексной плоскости при условии, что эта точка не лежит на контуре . При этом, если точка лежит внутри , то значение интеграла равно ; если точка лежит вне , значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри . Итак,

(25)

При интеграл в обычном смысле не существует, однако при дополнительных требованиях на поведение функции на контуре этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если функция удовлетворяет на контуре условию Гёльдера *

то существует главное значение по Коши интеграла

где представляет собой часть контура , лежащего вне круга . При этом

2. Пусть - аналитическая функция в односвязной области и - некоторая внутренняя точка этой области. Опишем из этой точки как из центра окружность радиуса , целиком лежащую в области . Тогда по формуле Коши получим

Но на окружности , поэтому

(26)

Или

(27)

Эта формула носит название формулы среднего значения и выражает значение аналитической функции в центре окружности как среднее из ее граничных значений.

3. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть функция является аналитической в области и непрерывной в замкнутой области . Тогда или , или максимальные значения достигаются только на границе области.

Действительная функция двух действительных переменных

по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэтому она достигает своего максимального значения в какой-либо точке данной области. То есть

(28)

Предположим, что точка - внутренняя точка области . Построим в области круг некоторого радиуса с центром в точке и запишем формулу среднего значения для и .

Учитывая формулу (28), получим

Следовательно,

(29)

Из этого соотношения в силу непрерывности функции на контуре интегрирования и неравенства (28) следует, что

.(30)

Действительно, по (28) функция не может быть больше ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке контура интегрирования функция строго меньше , то из непрерывности следует, что строго меньше и в некоторой окрестности точки , т. е. можно указать отрезок интегрирования, на котором

Тогда

что противоречит (29). Итак, соотношение (30) действительно имеет место. Это означает, что на окружности радиуса с центром в точке функция имеет постоянное значение, равное своему максимальному значению в области . То же будет иметь место и на любой окружности меньшего

радиуса с центром в точке , а следовательно, и во всем круге . Теперь легко показать, что это же значение функция имеет и в любой другой внутренней точке области . Для этого соединим точки и кривой , целиком лежащей в области и отстоящей от ее границы не меньше чем на некоторое положительное число . Возьмем точку , являющуюся последней общей точкой кривой и круга (Рис. 2). Поскольку , то, повторяя проведенные выше рассуждения, покажем, что внутри круга с центром в точке радиуса модуль функции принимает постоянное значение, равное максимальному значению . Взяв на кривой точку , являющуюся последней общей точкой кривой и круга , и продолжая данный процесс, мы в результате конечного числа шагов получим, что внутри круга , которому принадлежит точка , имеет место равенство , что и доказывает высказанное утверждение.

Итак, мы показали, что если принимает максимальное значение в некоторой внутренней точке области, то во всей области.

Таким образом, если функция не является постоянной величиной в области , то она не может достигать своего максимального значения во внутренних точках . Но так как функция, непрерывная в замкнутой области, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области, то в последнем случае функция должна достигать своего максимального значения в граничных точках.

В качестве последнего замечания отметим, что если аналитическая в области функция не равна нулю ни в одной точке этой области и непрерывна в , то имеет место принцип минимума модуля этой функции. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть функцию и воспользоваться принципом максимума модуля этой функции.