2020-01-14
218
Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования 
и фиксированного значения переменной 
. Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра . Естественно поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функция двух комплексных переменных 
, однозначно определенная для значений комплексной переменной 
из области 
и для значения комплексной переменной 
, принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимное расположение области 
и кривой 
может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных удовлетворяют следующим условиям:
a) Функция 
при любом значении 
является аналитической функцией 
в области .
b) Функция и ее производная 
являются непрерывными функциями по совокупности переменных 
при произвольном изменении 
в области и на кривой ;
Условие (
) означает, что действительная и мнимая части функции 
непрерывны по совокупности переменных 
.
Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции по кривой существует при любом 
и является функцией комплексной переменной 
(14)
Естественно поставить вопрос о свойствах функции 
. Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции функция является аналитической функцией комплексной переменной 
в области , причем производную функции можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл
.
Так как, по предположению, функции 
и 
обладают частными производными по 
и 
, непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции 
по переменным , существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):
Сами функции 
и 
являются непрерывными функциями переменных 
, в области 
. На основании аналогичных свойств функции 
и используя условия Коши-Римана для функции , получим
(15)
Таким образом, для 
выполнены условия Коши-Римана (частные производные функции и 
непрерывны и связаны соотношениями (15)), что и доказывает аналитичность 
в области .
Заметим, что
(16)
Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если 
удовлетворяет тем же условиям (
) и (), что и , то также является аналитической функцией в области 
.
