Понятие ортогональных полиномов

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Физико-технический институт

Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема:

Полиномы.

Полиномы Лагерра в квантовой механике

 

Выполнил (а) студент (ка)

2 курса, группы НТ-08,

.

Научный руководитель

.,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики

 

Иркутск

2010

 

 

Содержание

Введение                                                                                                            3

Глава I. Ортогональные полиномы.                                                          4

1.1. Понятие ортогональных полиномов                                        4

1.2. Классические ортогональные полиномы                                 5

1.3. Общие свойства ортогональных полиномов                           7

Глава II. Полиномы Лагерра                                                                   8

Глава III. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике 10

  3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном.                                                                                      10

   3.2. Переход в осцилляторе                                                                12

Заключение                                                                                                13          

Используемая литература                                                                      14

Приложение                                                                                               15

 

 

Введение

В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора.

По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Ax^ky^l...w^m где x, y,..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l,..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а₀х_n + а₁х_n-1 +... + а_n-1х + а_n.

К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби , Эрмита , Лагерра

Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида

где - полином степени не выше 2,  - полином степени не выше 1, - постоянная.

В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики.

 

Глава I. Ортогональные полиномы

Понятие ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы - системы полиномов , n = 0, 1,...,  ортогональных с весом на интервале (а, b)

где - квадрат нормы. Подобные системы возникают в различных задачах математики, физики: в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задач на собственные значения в теории волн, квантовой механике и др.

Задание веса и интервала (а,b) определяет полином р_n(х), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р_n(х)справедливо след. явное выражение в виде определителя:

где А_n - нормировочная постоянная , - момент весовой функции. Из соотношений ортогональности (1) можно получить свойства Ортогональных полиномов.