Классические ортогональные полиномы

Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита – полиномы типа y_n(z) являются решениями уравнения . Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига , где B_n – нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решая эти уравнения, получим в зависимости от степени полинома следующие возможные виды функции p(z):

где – некоторые постоянные.

В зависимости от вида функции получаются следующие системы полиномов:

1.Пусть

Тогда

Соответствующие полиномы y_n(z) при называются полиномами Якоби и обозначаются

2.Пусть Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами

Эрмита и обозначаются

3.Пусть Тогда

Полиномы y_n(z) при называются полиномами Лагерра и обозначаются :

Общие свойства ортогональных полиномов

Классические ортогональные* полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0.

1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени q_n(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов p_n(x))

2.Единственность системы полиномов при заданном весе.

3.Рекуррентные соотношения (для произвольных ортогональных полиномов имеет место рекуррентная формула, связывающая три последовательных полинома