Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему:

 

        

 

где a_kl — постоянные. вещественные числа, а х₁, x₂,..., x_n — неиз­вестные функции от времени t.

Теорема. Если все характеристические числа системы (41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение

x₁ ≡ 0, х₂ ≡ 0,..., х_п 5≡ 0         (42)

асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞ причем начальные возмущения можно брать любыми.

Это утверждение непосредственно следует из вида фунда­ментальной системы решений и соответствующего ей общего ре­шения системы(41), установленного для общего случая харак­теристических чисел этой системы ранее.

 Теорема о неустойчивости нулевого решения однород­ной линейной системы с постоянными коэффициентами. Если хоть одно из характеристических чисел системы (41) положи­тельно или имеет положительную вещественную часть, то нуле­вое решение (42) неустойчиво в смысле Ляпунова при t→+∞.

 Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными коэффициентами при помощи замены незави­симой переменной. Рассмотрим систему:

 

Введем вместо х новую независимую переменную t по фор­муле

t =y(x).                                                       (44)

Тогда получим систему:

              (k=1, 2, …, n).                                                                              (45)

Предположим, что коэффициенты этой системы постоянны, т. е.

   

Тогда p_kl (х) имеют вид

  p_kl(x)=a_klψ΄(x),                                                   (47)

т. е. р_к1 (х) представляют собой произведения постоянных чи­сел на одну и ту же функцию от х.

Обратно, если коэффициенты p_kl (x) обладают этим свой­ством, т. е. если

               p_kl(x)=a_klφ(x),                                   (48)

то, положив

          t=ψ(x)=∫φ(x) d x,                                        (49)

мыполучим систему с постоянными коэффициентами a _kl.

Пример 1.     Пусть дана система:

Здесь условие (48) выполнено, причем φ(x)=1/ x

Поэтому подстановка

t=∫φ(x) dx=∫1/xdx=ln x (x>0)                        (51)

или

x = e ^t                          (52)

приводит данную систему к системе с постоянными коэффициентами:

                   

 

Интегрируя эту систему, получаем:

                                    (54)

Поэтому общим решением системы (50) будет:

                                                  (55)

Отсюда видно, что решения системы (50) могут иметь особенность только в точке х=0, которая является единственной особой точкой этой си­стемы. (В точке х=0 не выполнены условия теоремы существования). Наря­ду с такими решениями существует целое семейство решений y₁=Cx², y₂=Cx², y₃=Cx² голоморфных в окрестности особой точки х = 0. Заме­тим, однако, что среди них (и вообще) нет решений, в которых функции у₁, y₂ и y₃ стремились бы к пределам, не равным одновременно нулю, когда х стремится к особой точке х = 0.

Интегрирование неоднородной линейной системы с по­стоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.   Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему с постоянными коэффициентами

 

Так как соответствующая однородная система всегда инте­грируется в элементарных функциях, то, применяя метод ва­риации произвольных постоянных, мы всегда можем получить общее решение неоднородной системы (56), по крайней мере, в квадратурах, а иногда и в элементарных функциях.

Замечание. Если в системе (56) функции f_k (x) представ­ляют собою произведения показательной функции (с вещест­венным или комплексным показателем) на полином от х, то для построения общего решения этой системы можно вместо применения метода вариации произвольных постоянных найти частное решение методом неопределенных коэффициентов и прибавить его к общему решению соответствующей однородной системы. Тогда мыполучим общее решение системы (56).

Интегрирование линейной системы  с постоянными ко­эффициентами при помощи приведения   ее к уравнению п-го порядка (метод исключения).

Применим к системе

общий способ приведения нормальной системы nуравнении к одному уравнению n-го порядка. Тогда мы получим либо одно линейное уравнение м-го порядка с по­стоянными коэффициентами, либо несколько таких уравне­ний более низких порядков, причем сумма порядков всегда равна п. Найдя общее решение каждого из этих уравнений, мы получим общее решение системы (1) уже без дальнейших квадратур.

Пример. Найти общее решение системы:

y΄₁=y₂+y₃,

y΄₂=y₁+y₃,                                                    (2)

y΄₃=y₁+y₂.

Дифференцируя первое уравнение и, пользуясь вторым и третьим, по­лучаем:

y˝₁=2y₁+y₂+y₃.                       (3)

Но y₂ + у₃ = у΄₁. Поэтому

                 y˝₁− y΄₁−2y₁=0;                                          (4)

Исключим у₃. Из первого уравнения системы (2) имеем:

y₃= y΄₁−y₂.                               (5)

 Подставляя во второе уравнение, получаем

y΄₂= y΄₁−y₂+y₁                        (6)

или

y΄₂ +y₂= y΄₁ +y₁                      (7)

Таким образом система (2) приводится к двум линейным уравнениям (4) и (7) с неизвестными функциями у₁ и у₂ второго и первого порядка. Интегрируя уравнение (4), находим:

y₁=C₁e^−x+C₂e^2x                                         (8)

Подставляя это значение у₁ в (7), получаем:

                    y΄₂+y₂=−C₁e^−x+2C₂e^2x+C₁e^−x+C₂e^2x,                  (9)

или

                              y΄₂+y₂=3C₂e^2x                                         (10)

откуда

                             y₂=C₃e^−x+c₂e^2x                                                       (11)

Теперь находим у₃:

                    y₃= y΄₁−y₂=−C₁e^−x+3C₂e^2x−C₃e^−x−C₂e^2x.                  (12)

 

Общее решение системы (2) имеет вид:

Метод Даламбера. Знание k (k<n) независимых первых интегралов нормальной системы п-го порядка дает возможность понизить порядок этой системы на k единиц. Если же мы знаем п независимых первых инте­гралов, то мы имеем общий интеграл.

Для линейной системы с по­стоянными коэффициентами Даламбер указал общий метод.нахождения первых интегралов.

Рассмотрим этот метод в случае линейной системы двух уравнений:

Умножим второе уравнение на некоторое число k и сложим почленно с первым. Получим:

Или

 

Выберем k так, чтобы

                                                                         (17)

 Или

     a₁₂+ka₂₂=k(a₁₁+ka₂₁).                                                         (18)

тогда уравнение (16) можно переписать в виде

  

Это линейное уравнение первого порядка с искомой функцией y+kz. Интегрируя его, найдем:

 

     y+kz=e^(a11+ka21)x{C+∫[f₁(x)+kf₂(x)]e^{−(a11+ka21)x}dx}.             (20)

 

если корни уравнения (18)различные и вещественные, то, обозначив их через   k₁, k₂, будем иметь два первых интеграла в неявной форме:

 

Разрешая систему (21) относительно С₁ и С₂, найдем общий интеграл системы (14), а разрешая относительно y и z, найдем общее решение этой системы.

Если корни уравнения (18) кратные: k₁=k₂, то формула (20) дает только один первый интеграл:

     y+k₁z=e^(a11+k1a21)x{C+∫[f₁(x)+k₁f₂(x)]e^{−(a11+k1a21)x}dx}.                  (22)

Подставляя значение г/, найденное отсюда, во второе уравнение системы (14), получим одно линейноеуравнение первого по­рядка с неизвестной функцией z.

Пример 1. Найти общее решение системы:

 

 

Составляем уравнение для k:

4+5k=k(5+4k).                                            (24)

Отсюда k_1,2=±1. поэтому первыми интегралами будут:       

                                                   

Решая систему (25) относительно y и z, получим общее решение системы (23).

 

Пример 2. Найти общее решение системы:

 

Здесь мы имеем:

4 — 2k = k{2 — k), k² — \k + 4 = 0.                (27)

 

Это уравнение имеет двукратный корень k_1,2 =2. Поэтому метод Даламбера дает возможность найти только один первый интеграл.

Умножая второе из уравнений (26) на 2 и складывая почленно с первым, получаем

Отсюда находим первый интеграл системы (26)

Используя этот первый интеграл, мы можем переписать второе из уравнений (26) в виде

Отсюда

Поэтому

 

 

Общее решение системы (26) имеет следующий вид