Линейные системы с постоянными коэффициентами. Содержащие производные выше первого порядка

 Метод исключения.   Используя общий метод сведения любой кано-нической системы к уравнению более высокого порядка, мы, вообще говоря, всегда можем свести линейную систему, содержащую произ-водные выше первого порядка, к одному линейному уравнению более высокого порядка. Найдя решение этого уравнения, мы получим решение заданной си­стемы уже без дальнейших квадратур.

Пример. Проинтегрировать систему:

Эта система приводится к одному уравнению четвертого порядка:

    y⁽⁴⁾−k⁴y=0                                                                              (2)

   Отсюда:

   y=C₁e^kx+C₂e^−kx+C₃ cos kx+C₄ sin kx                                         (3)

  Поэтому:               ввв

Метод Даламбера.

   Метод Даламбера, изложенный ранее, распространяется ина линейные системы уравнений, со­держащие производные выше первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений:

Умножая второе уравнение на k, складывая почленно с первым уравнением и выбирая k из условия:

  a₁₂+ka₂₂=k(a₁₁+ka₂₁)                                        (6)

получаем:

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно y+kz. Интегрируя его, найдем:

y+kz=φ(x, C₁, C₂, …, C_n).                                    (8)

если корни уравнения (6) различные относительно y и z, получим общее решение системы (5).

Укажем, в заключение, что линейная система с постоянны­ми коэффициентами так же, как и линейное уравнение с по­стоянными коэффициентами, может быть проинтегрирована операторным методом.